ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1401 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan x}; \)
б) \( \frac{1 — \cot x}{\sin x — \cos x}; \)
в) \( \frac{\sin x — \cos x}{1 — \tan x}; \)
г) \( \frac{1 + \cot x}{\sin x + \cos x}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan x} = \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\cos x + \sin x} = \cos x; \)
б) \( \frac{1 — \cot x}{\sin x — \cos x} = \frac{\sin x — \cos x}{\sin x (\sin x — \cos x)} = \frac{1}{\sin x}; \)
в) \( \frac{\sin x — \cos x}{1 — \tan x} = \frac{\cos x (\sin x — \cos x)}{\cos x — \sin x} = -\cos x; \)
г) \( \frac{1 + \cot x}{\sin x + \cos x} = \frac{\sin x (\sin x + \cos x)}{\sin x (\sin x + \cos x)} = \frac{1}{\sin x}. \)
а) Упростим выражение: \( \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan x} \)
1. Напоминаем, что \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Подставим это выражение для \( \tan x \) в знаменатель:
\( \frac{\sin x + \cos x}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} \)
2. Приведем знаменатель к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на \( \cos x \):
\( = \frac{\sin x + \cos x}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} \)
3. Теперь, чтобы упростить дробь, умножаем числитель на обратную дробь знаменателя:
\( = (\sin x + \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \)
4. Сокращаем одинаковые выражения \( \sin x + \cos x \) в числителе и знаменателе:
\( = \cos x \)
Ответ: \( \cos x \)
б) Упростим выражение: \( \frac{1 — \cot x}{\sin x — \cos x} \)
1. Используем определение \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \), подставляем это в числитель:
\( = \frac{1 — \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x — \cos x} \)
2. Приводим числитель к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin x — \cos x}{\sin x (\sin x — \cos x)} \)
3. Теперь видим, что \( \sin x — \cos x \) сокращается в числителе и знаменателе, оставляя:
\( = \frac{1}{\sin x} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin x} \)
в) Упростим выражение: \( \frac{\sin x — \cos x}{1 — \tan x} \)
1. Используем определение \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), подставляем это в знаменатель:
\( = \frac{\sin x — \cos x}{1 — \frac{\sin x}{\cos x}} \)
2. Приводим знаменатель к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin x — \cos x}{\frac{\cos x — \sin x}{\cos x}} \)
3. Теперь умножаем числитель и знаменатель на \( \cos x \), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:
\( = (\sin x — \cos x) \cdot \frac{\cos x}{\cos x — \sin x} \)
4. Сокращаем \( \sin x — \cos x \) в числителе и знаменателе:
\( = -\cos x \)
Ответ: \( -\cos x \)
г) Упростим выражение: \( \frac{1 + \cot x}{\sin x + \cos x} \)
1. Используем определение \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \), подставляем это в числитель:
\( = \frac{1 + \frac{\cos x}{\sin x}}{\sin x + \cos x} \)
2. Приводим числитель к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x (\sin x + \cos x)} \)
3. Сокращаем \( \sin x + \cos x \) в числителе и знаменателе:
\( = \frac{1}{\sin x} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin x} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.