Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1400 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \frac{\sin \beta}{1 — \cos \beta} + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta}; \)
б) \( \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta}; \)
в) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \cot \alpha; \)
г) \( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \tan \alpha. \)
Упростить выражение:
а) \( \frac{\sin \beta}{1 — \cos \beta} + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} = \)
\( = \frac{\sin \beta (1 + \cos \beta) + \sin \beta (1 — \cos \beta)}{(1 — \cos \beta)(1 + \cos \beta)} = \)
\( = \frac{\sin \beta + \sin \beta \cos \beta + \sin \beta — \sin \beta \cos \beta}{1 — \cos^2 \beta} = \)
\( = \frac{2 \sin \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin \beta}; \)
б) \( \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} = \)
\( = \frac{\cos \beta (1 — \sin \beta) + \cos \beta (1 + \sin \beta)}{(1 + \sin \beta)(1 — \sin \beta)} = \)
\( = \frac{\cos \beta — \sin \beta \cos \beta + \cos \beta + \sin \beta \cos \beta}{1 — \sin^2 \beta} = \)
\( = \frac{2 \cos \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{2}{\cos \beta}; \)
в) \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \)
\( = \frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha (1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \)
\( = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha}; \)
г) \( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \)
\( = \frac{\cos^2 \alpha — \sin \alpha (1 — \sin \alpha)}{\cos \alpha (1 — \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha — \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 — \sin \alpha)} = \)
\( = \frac{1 — \sin \alpha}{\cos \alpha (1 — \sin \alpha)} = \frac{1}{\cos \alpha}. \)
а) Упростим выражение: \( \frac{\sin \beta}{1 — \cos \beta} + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta} \)
Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель: \( (1 — \cos \beta)(1 + \cos \beta) \).
Числитель: \( \sin \beta (1 + \cos \beta) + \sin \beta (1 — \cos \beta) \)
Раскроем скобки:
\( = \sin \beta + \sin \beta \cos \beta + \sin \beta — \sin \beta \cos \beta \)
Теперь сокращаем: \( \sin \beta \cos \beta \) в числителе исчезает, и остаётся:
\( = 2 \sin \beta \)
В знаменателе, по формуле разности квадратов, имеем:
\( (1 — \cos^2 \beta) = \sin^2 \beta \)
Теперь выражение выглядит так:
\( \frac{2 \sin \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{2}{\sin \beta} \)
Ответ: \( \frac{2}{\sin \beta} \)
б) Упростим выражение: \( \frac{\cos \beta}{1 + \sin \beta} + \frac{\cos \beta}{1 — \sin \beta} \)
Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель: \( (1 + \sin \beta)(1 — \sin \beta) \).
Числитель: \( \cos \beta (1 — \sin \beta) + \cos \beta (1 + \sin \beta) \)
Раскроем скобки:
\( = \cos \beta — \sin \beta \cos \beta + \cos \beta + \sin \beta \cos \beta \)
Теперь видим, что \( — \sin \beta \cos \beta \) и \( + \sin \beta \cos \beta \) сокращаются, и остаётся:
\( = 2 \cos \beta \)
В знаменателе, по формуле разности квадратов, имеем:
\( (1 — \sin^2 \beta) = \cos^2 \beta \)
Теперь выражение выглядит так:
\( \frac{2 \cos \beta}{\cos^2 \beta} = \frac{2}{\cos \beta} \)
Ответ: \( \frac{2}{\cos \beta} \)
в) Упростим выражение: \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \cot \alpha \)
Запишем \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), тогда выражение принимает вид:
\( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель: \( \sin \alpha (1 + \cos \alpha) \).
Числитель: \( \sin^2 \alpha + \cos \alpha (1 + \cos \alpha) \)
Раскроем скобки:
\( = \sin^2 \alpha + \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
Используем основное тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:
\( = 1 + \cos \alpha \)
Теперь выражение становится:
\( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} \)
Сокращаем \( 1 + \cos \alpha \) в числителе и знаменателе:
\( = \frac{1}{\sin \alpha} \)
Ответ: \( \frac{1}{\sin \alpha} \)
г) Упростим выражение: \( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \tan \alpha \)
Запишем \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), и выражение становится:
\( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель: \( \cos \alpha (1 — \sin \alpha) \).
Числитель: \( \cos^2 \alpha — \sin \alpha (1 — \sin \alpha) \)
Раскроем скобки:
\( = \cos^2 \alpha — \sin \alpha + \sin^2 \alpha \)
Используем основное тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:
\( = 1 — \sin \alpha \)
Теперь выражение становится:
\( \frac{1 — \sin \alpha}{\cos \alpha (1 — \sin \alpha)} \)
Сокращаем \( 1 — \sin \alpha \) в числителе и знаменателе:
\( = \frac{1}{\cos \alpha} \)
Ответ: \( \frac{1}{\cos \alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.