Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1397 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Чему равно значение выражения:
а) \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} \), если \( \sin \alpha = \frac{2}{3}; \)
б) \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} \), если \( \cos \alpha = -\frac{1}{3}? \)
Найдите значение выражения:
а) Если \( \sin a = \frac{2}{3} \), тогда:
\( \frac{1 — \tan^2 a}{1 + \cot^2 a} = \sin^2 a (1 — \tan^2 a) = \sin^2 a — \frac{\sin^4 a}{\cos^2 a} = \)
\( = \sin^2 a — \frac{\sin^4 a}{1 — \sin^2 a} = \frac{4}{9} — \frac{\frac{16}{81}}{\frac{5}{9}} =\)
\(\frac{4}{9} — \frac{16}{45} = \frac{20 — 16}{45} = \frac{4}{45}; \)
б) Если \( \cos a = -\frac{1}{3} \), тогда:
\( \frac{1 — \tan^2 a}{1 + \cot^2 a} = 2 — (1 + \tan^2 a) = \sin^2 a \left( 2 — \frac{1}{\cos^2 a} \right) = \)
\( = (1 — \cos^2 a) \left( 2 — \frac{1}{\cos^2 a} \right) = \left( 1 — \frac{1}{9} \right) \cdot \left( 2 — 1 : \frac{1}{9} \right) = \)
\( = \frac{8}{9} \cdot (-7) = -\frac{56}{9} = -\frac{2}{9}; \)
а) Найдём значение выражения: \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} \), если \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \).
Шаг 1: Выразим \( \cos \alpha \) через \( \sin \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству:
\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)
Следовательно, \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \) (положительное значение допустим, знак не влияет на результат).
Шаг 2: Найдём \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \):
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
Шаг 3: Найдём квадраты:
\( \tan^2 \alpha = \frac{4}{5}, \quad \cot^2 \alpha = \frac{5}{4} \)
Шаг 4: Подставим в выражение:
\( \frac{1 — \frac{4}{5}}{1 + \frac{5}{4}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{4}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{45} \)
Ответ: \( \frac{4}{45} \)
б) Найдём значение выражения: \( \frac{1 — \tan^2 \alpha}{1 + \cot^2 \alpha} \), если \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \).
Шаг 1: Выразим \( \sin \alpha \) по основному тождеству:
\( \cos^2 \alpha = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 — \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
\( \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
Шаг 2: Найдём \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \):
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2} \)
\( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \)
Шаг 3: Найдём квадраты:
\( \tan^2 \alpha = 8, \quad \cot^2 \alpha = \frac{1}{8} \)
Шаг 4: Подставим в выражение:
\( \frac{1 — 8}{1 + \frac{1}{8}} = \frac{-7}{\frac{9}{8}} = -7 \cdot \frac{8}{9} = -\frac{56}{9} \)
Ответ: \( -\frac{56}{9} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.