ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1396 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

а) Найдём значение выражения: \( \sin \alpha \cos \alpha \cot \alpha — 1 \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, чтобы найти \( \cos \alpha \):

\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\)

\(1 — \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

Следовательно, \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \). Мы рассматриваем положительное значение, так как знак не уточнён (возможно, угол в первой четверти).

Теперь найдём \( \cot \alpha \):

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Теперь подставим всё в выражение:

\( \sin \alpha \cos \alpha \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)

Перемножим корни:

\( = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \)

Вычтем единицу:

\( \frac{2}{3} — 1 = -\frac{1}{3} \)

Ответ: \( -\frac{1}{3} \).

б) Найдём значение выражения: \( \frac{\tan \alpha + \cot \alpha}{\tan \alpha — \cot \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{3} \).

Сначала найдём \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \)

Теперь найдём числитель и знаменатель выражения по отдельности:

Числитель: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} \)

Знаменатель: \( \frac{2}{3} — \frac{3}{2} = \frac{4}{6} — \frac{9}{6} = -\frac{5}{6} \)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{\frac{13}{6}}{-\frac{5}{6}} = -\frac{13}{5} \)

Ответ: \( -\frac{13}{5} \) или \( -2 \frac{3}{5} \).

в) Найдём значение выражения: \( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{5} \).

Пусть \( \sin \alpha = 2k \), \( \cos \alpha = 5k \), тогда:

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} \), условие выполняется.

Теперь найдём значение \( k \), используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( (2k)^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 25k^2 = 29k^2 =\)

\(1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{29} \)

Тогда:

\( \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \quad \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}} \)

Теперь подставим в исходное выражение:

\( \frac{\frac{2}{\sqrt{29}} — \frac{5}{\sqrt{29}}}{\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{-3}{7} \)

Так как числитель: \( \frac{-3}{\sqrt{29}} \), а знаменатель: \( \frac{7}{\sqrt{29}} \), их отношение:

\( \frac{-3}{7} \)

Ответ: \( -\frac{3}{7} \).

г) Найдём значение выражения: \( \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{3}{2} \).

Пусть \( \sin \alpha = 3k \), \( \cos \alpha = 2k \), тогда \( \tan \alpha = \frac{3k}{2k} = \frac{3}{2} \), условие выполняется.

Найдём значение \( k \) из уравнения \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( 9k^2 + 4k^2 = 13k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{13} \)

Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \)

Числитель:

\( \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{13} \)

Знаменатель:

\( \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)^2 — \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{9}{13} — \frac{4}{13} = \frac{5}{13} \)

Теперь делим числитель на знаменатель:

\( \frac{6}{13} \div \frac{5}{13} = \frac{6}{5} = 1.2 \)

Ответ: \( \frac{6}{5} \) или \( 1.2 \).