Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1396 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \( \sin \alpha \cos \alpha \cot \alpha — 1 \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}; \)
б) \( \frac{\tan \alpha + \cot \alpha}{\tan \alpha — \cot \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{3}; \)
в) \( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{5}; \)
г) \( \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{3}{2}. \)
Найдите значение выражения:
а) Если \( \sin a = \frac{\sqrt{3}}{3} \), тогда:
\( \sin a \cos a \cot a — 1 = \cos^2 a — 1 = -\sin^2 a = -\frac{1}{3}; \)
б) Если \( \tan a = \frac{2}{3} \), тогда:
\( \frac{\tan a + \cot a}{\tan a — \cot a} = \frac{\tan^2 a + 1}{\tan^2 a — 1} =\)
\(\frac{\frac{4}{9} + 1}{\frac{4}{9} — 1} = \frac{4 + 9}{4 — 9} = -\frac{13}{5} = -2 \frac{3}{5}; \)
в) Если \( \tan a = \frac{2}{5} \), тогда:
\( \frac{\sin a — \cos a}{\sin a + \cos a} = \frac{\tan a — 1}{\tan a + 1} =\)
\(\frac{\frac{2}{5} — 1}{\frac{2}{5} + 1} = \frac{2 — 5}{2 + 5} = -\frac{3}{7}; \)
г) Если \( \tan a = \frac{3}{2} \), тогда:
\( \frac{\sin a \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\tan a}{\tan^2 a — 1} =\)
\(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{4} — 1} = \frac{6}{5} = 1.2; \)
а) Найдём значение выражения: \( \sin \alpha \cos \alpha \cot \alpha — 1 \), если \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Сначала воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, чтобы найти \( \cos \alpha \):
\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 =\)
\(1 — \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Следовательно, \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \). Мы рассматриваем положительное значение, так как знак не уточнён (возможно, угол в первой четверти).
Теперь найдём \( \cot \alpha \):
\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
Теперь подставим всё в выражение:
\( \sin \alpha \cos \alpha \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
Перемножим корни:
\( = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \)
Вычтем единицу:
\( \frac{2}{3} — 1 = -\frac{1}{3} \)
Ответ: \( -\frac{1}{3} \).
б) Найдём значение выражения: \( \frac{\tan \alpha + \cot \alpha}{\tan \alpha — \cot \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{3} \).
Сначала найдём \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \)
Теперь найдём числитель и знаменатель выражения по отдельности:
Числитель: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{13}{6} \)
Знаменатель: \( \frac{2}{3} — \frac{3}{2} = \frac{4}{6} — \frac{9}{6} = -\frac{5}{6} \)
Теперь разделим числитель на знаменатель:
\( \frac{\frac{13}{6}}{-\frac{5}{6}} = -\frac{13}{5} \)
Ответ: \( -\frac{13}{5} \) или \( -2 \frac{3}{5} \).
в) Найдём значение выражения: \( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{2}{5} \).
Пусть \( \sin \alpha = 2k \), \( \cos \alpha = 5k \), тогда:
\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} \), условие выполняется.
Теперь найдём значение \( k \), используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( (2k)^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 25k^2 = 29k^2 =\)
\(1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{29} \)
Тогда:
\( \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \quad \cos \alpha = \frac{5}{\sqrt{29}} \)
Теперь подставим в исходное выражение:
\( \frac{\frac{2}{\sqrt{29}} — \frac{5}{\sqrt{29}}}{\frac{2}{\sqrt{29}} + \frac{5}{\sqrt{29}}} = \frac{-3}{7} \)
Так как числитель: \( \frac{-3}{\sqrt{29}} \), а знаменатель: \( \frac{7}{\sqrt{29}} \), их отношение:
\( \frac{-3}{7} \)
Ответ: \( -\frac{3}{7} \).
г) Найдём значение выражения: \( \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha} \), если \( \tan \alpha = \frac{3}{2} \).
Пусть \( \sin \alpha = 3k \), \( \cos \alpha = 2k \), тогда \( \tan \alpha = \frac{3k}{2k} = \frac{3}{2} \), условие выполняется.
Найдём значение \( k \) из уравнения \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\( 9k^2 + 4k^2 = 13k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{13} \)
Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}, \quad \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \)
Числитель:
\( \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{13} \)
Знаменатель:
\( \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)^2 — \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right)^2 = \frac{9}{13} — \frac{4}{13} = \frac{5}{13} \)
Теперь делим числитель на знаменатель:
\( \frac{6}{13} \div \frac{5}{13} = \frac{6}{5} = 1.2 \)
Ответ: \( \frac{6}{5} \) или \( 1.2 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.