Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1393 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Зная, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = 5 \), найдите значение выражения
\( \tan^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} + \cot^2 \alpha. \)
Известно следующее:
\( \tan a + \cot a = 5; \)
Значение выражения:
\( \tan^2 a + \frac{1}{\sin a} \cdot \frac{1}{\cos a} + \cot^2 a = \)
\( = (\tan a + \cot a)^2 — 2 \tan a \cdot \cot a + \frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cdot \cos a} = \)
\( = 5^2 — 2 \cdot 1 + \frac{\sin a}{\cos a} +\)
\( \frac{\cos a}{\sin a} = 25 — 2 + \tan a + \cot a = \)
\( = 25 — 2 + 5 = 25 + 3 = 28; \)
Ответ: 28.
Дано: известно, что \( \tan \alpha + \cot \alpha = 5 \). Требуется найти значение выражения:
\( \tan^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha} + \cot^2 \alpha \)
Разделим выражение на три части:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} \)
Рассмотрим сумму квадратов тангенса и котангенса. Напомним формулу квадрата суммы двух чисел:
\( (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 = \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha +\)
\(2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \)
Выразим из неё нужную нам сумму квадратов:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2 -\)
\(2 \tan \alpha \cdot \cot \alpha \)
Так как по условию \( \tan \alpha + \cot \alpha = 5 \), подставим:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 5^2 — 2 \cdot \tan \alpha \cdot \cot \alpha \)
А поскольку \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), их произведение:
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1 \)
Следовательно:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha = 25 — 2 \cdot 1 = 23 \)
Теперь найдём третий член исходного выражения:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} \)
Преобразуем дробь в сумму с помощью основного тождества:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} \)
Поскольку \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), имеем:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} \)
А также известно, что:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \tan \alpha + \cot \alpha \), потому что:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} =\)
\(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \tan \alpha + \cot \alpha \)
По условию \( \tan \alpha + \cot \alpha = 5 \), следовательно:
\( \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = 5 \)
Теперь сложим всё вместе:
\( \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + \frac{1}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha} = 23 + 5 = 28 \)
Ответ: 28.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.