Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1392 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Существует ли угол \( \alpha \), для которого:
а) \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \cos \alpha = \frac{4}{5}; \)
б) \( \sin \alpha = \frac{5}{7} \) и \( \cos \alpha = \frac{4}{7}; \)
в) \( \tan \alpha = 1.6 \) и \( \cot \alpha = \frac{5}{8}; \)
г) \( \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cot \alpha = (-\sqrt{2})? \)
Существует ли угол \( a \):
а) \( \sin a = \frac{3}{5} \) и \( \cos a = \frac{4}{5}; \)
\( \sin^2 a + \cos^2 a = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1; \)
Ответ: да.
б) \( \sin a = \frac{5}{7} \) и \( \cos a = \frac{4}{7}; \)
\( \sin^2 a + \cos^2 a = \frac{25}{49} + \frac{16}{49} \neq 1; \)
Ответ: нет.
в) \( \tan a = 1.6 \) и \( \cot a = \frac{5}{8}; \)
\( \tan a \cdot \cot a = 1.6 \cdot \frac{5}{8} = 1; \)
Ответ: да.
г) \( \tan a = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cot a = (-\sqrt{2}); \)
\( \tan a \cdot \cot a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sqrt{2}) \neq 1; \)
Ответ: нет.
а) Рассмотрим значения: \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \). Проверим, возможны ли такие значения для одного и того же угла.
В тригонометрии для любого угла \( \alpha \) справедливо основное тригонометрическое тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Подставим указанные значения синуса и косинуса в левую часть тождества и вычислим:
\( \left( \frac{3}{5} \right)^2 + \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \)
Так как левая часть равна правой, тождество выполняется. Это означает, что значения синуса и косинуса согласованы между собой и могут принадлежать одному и тому же углу.
Следовательно, угол \( \alpha \) с такими тригонометрическими значениями действительно существует.
Ответ: да.
б) Проверим, может ли существовать угол \( \alpha \), у которого одновременно \( \sin \alpha = \frac{5}{7} \) и \( \cos \alpha = \frac{4}{7} \).
Проверим основное тригонометрическое тождество для этих значений:
\( \left( \frac{5}{7} \right)^2 + \left( \frac{4}{7} \right)^2 = \frac{25}{49} + \frac{16}{49} = \frac{41}{49} \)
Полученное значение \( \frac{41}{49} \) не равно 1, а значит, тригонометрическое тождество не выполняется.
Это указывает на то, что одновременно такие значения синуса и косинуса не могут принадлежать одному и тому же углу. Либо одно из чисел указано неверно, либо они относятся к разным углам.
Следовательно, угол \( \alpha \) с такими значениями не существует.
Ответ: нет.
в) Определим, может ли существовать угол \( \alpha \), при котором одновременно верны равенства: \( \tan \alpha = 1.6 \), \( \cot \alpha = \frac{5}{8} \).
Напомним, что тангенс и котангенс взаимно обратны для одного и того же угла (в пределах области определения):
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)
Проверим это произведение при указанных значениях:
\( 1.6 \cdot \frac{5}{8} = \frac{16}{10} \cdot \frac{5}{8} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{8} = 1 \)
Равенство выполняется, а значит, значения согласованы, и такой угол действительно существует. Значения тангенса и котангенса соответствуют одному и тому же углу.
Ответ: да.
г) Проверим, возможен ли угол \( \alpha \), при котором одновременно \( \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cot \alpha = -\sqrt{2} \).
Как и ранее, воспользуемся взаимосвязью между тангенсом и котангенсом одного угла:
\( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)
Подставим значения:
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -\frac{2}{2} = -1 \)
Полученное произведение равно -1, а не 1, следовательно, условие не выполняется.
Это означает, что значения тангенса и котангенса не соответствуют одному и тому же углу — они противоречат определению.
Такой угол \( \alpha \) не существует.
Ответ: нет.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.