Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1391 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество:
а) \( 1 + \sin \alpha — \cos \alpha — \cot \alpha = (1 + \sin \alpha)(1 — \cot \alpha); \)
б) \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = 2; \)
в) \( \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha}; \)
г) \( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 — 1}{\cot \alpha — \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \tan^2 \alpha. \)
Доказать тождество:
а) \( 1 + \sin a — \cos a — \cot a = (1 + \sin a)(1 — \cot a); \)
\( 1 + \sin a — \cos a — \frac{\cos a}{\sin a} = 1 — \frac{\cos a}{\sin a} + \sin a — \cos a; \)
Равенство доказано.
б) \( (\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 = 2; \)
\( \sin^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a = 2; \quad 2(\sin^2 a + \cos^2 a) = 2, \quad 2 = 2; \)
Равенство доказано.
в) \( \frac{\sin a}{1 — \cos a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}; \)
\( \sin^2 a = (1 + \cos a)(1 — \cos a); \)
\( \sin^2 a = 1 — \cos^2 a; \)
Равенство доказано.
г) \( \frac{(\sin a + \cos a)^2 — 1}{\cot a — \sin a \cos a} = 2 \tan^2 a; \)
\( \frac{\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a — 1}{\frac{\cos a}{\sin a} — \sin a \cos a} = 2 \tan^2 a; \)
\( \frac{\cos a \left( \frac{1}{\sin a} — \sin a \right)}{\sin a} = 2 \tan^2 a; \)
\( \frac{2 \sin^2 a}{1 — \sin^2 a} = 2 \tan^2 a; \)
\( \frac{2 \sin^2 a}{\cos^2 a} = 2 \tan^2 a; \)
Равенство доказано.
а) Докажем тождество: \( 1 + \sin \alpha — \cos \alpha — \cot \alpha = (1 + \sin \alpha)(1 — \cot \alpha) \)
Распишем левую часть:
\( 1 + \sin \alpha — \cos \alpha — \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Группируем слагаемые так, чтобы было удобно выделить общий множитель:
\( = 1 — \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \sin \alpha — \cos \alpha \)
Вынесем общий множитель и преобразуем:
\( = (1 + \sin \alpha)(1 — \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}) \)
Так как \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), получаем:
\( = (1 + \sin \alpha)(1 — \cot \alpha) \)
Правая часть совпала с левой — тождество доказано.
б) Докажем тождество: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = 2 \)
Раскроем скобки в первом выражении:
\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
Раскроем скобки во втором выражении:
\( (\sin \alpha — \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
Сложим оба выражения:
\( (\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha — 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \)
Сложим подобные слагаемые:
\( = 2 \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha \)
Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( = 2 \cdot 1 = 2 \)
Тождество доказано.
в) Докажем тождество: \( \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} = \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \)
Перемножим крест-накрест, чтобы избавиться от дробей:
\( \sin^2 \alpha = (1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \)
Правая часть — формула разности квадратов:
\( (1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 — \cos^2 \alpha \)
Подставим в равенство:
\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha \)
Это верно по основному тригонометрическому тождеству.
Следовательно, равенство доказано.
г) Докажем тождество: \( \frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 — 1}{\cot \alpha — \sin \alpha \cos \alpha} = 2 \tan^2 \alpha \)
Сначала раскроем числитель:
\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)
Тогда числитель: \( \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha — 1 \)
Сгруппируем слагаемые:
\( (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha — 1 \)
Используем тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha — 1 = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Теперь перейдём к знаменателю:
\( \cot \alpha — \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — \sin \alpha \cos \alpha \)
Вынесем общий множитель \( \cos \alpha \):
\( = \cos \alpha \left( \frac{1}{\sin \alpha} — \sin \alpha \right) \)
Тогда дробь примет вид:
\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha \left( \frac{1}{\sin \alpha} — \sin \alpha \right)} \)
Сократим \( \cos \alpha \):
\( = \frac{2 \sin \alpha}{\frac{1}{\sin \alpha} — \sin \alpha} \)
Приведём знаменатель к общему знаменателю:
\( = \frac{2 \sin^2 \alpha}{1 — \sin^2 \alpha} \)
Так как \( 1 — \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \), получаем:
\( = \frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
По определению тангенса: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), следовательно:
\( = 2 \tan^2 \alpha \)
Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.