Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1390 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выразите:
а) \( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \) через \( \sin \alpha \);
б) \( \tan^2 \alpha — \cot^2 \alpha \) через \( \cos \alpha \);
в) \( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \) через \( \tan \alpha \);
г) \( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} \) через \( \cot \alpha \).
Выразить функции:
а) Через \( \sin a \):
\( \sin^2 a — \cos^2 a = \sin^2 a — (1 — \sin^2 a) = \)
\( = \sin^2 a — 1 + \sin^2 a = 2\sin^2 a — 1; \)
б) Через \( \cos a \):
\( \tan^2 a — \cot^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} — 1 — \left(\frac{1}{\sin^2 a} — 1\right) = \)
\( = \frac{1}{\cos^2 a} — \frac{1}{\sin^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a} — \frac{1}{1 — \cos^2 a} = \)
\( = \frac{1 — \cos^2 a — \cos^2 a}{\cos^2 a (1 — \cos^2 a)} = \frac{1 — 2\cos^2 a}{\cos^2 a — \cos^4 a}; \)
в) Через \( \tan a \):
\( \frac{\sin a — \cos a}{\sin a + \cos a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\cos a}} = \frac{\tan a — 1}{\tan a + 1}; \)
г) Через \( \cot a \):
\( \frac{\sin a + \cos a}{\sin a — \cos a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a}}{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\cos a}{\sin a}} = \frac{1 + \cot a}{1 — \cot a}. \)
а) выразим \( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \) через \( \sin \alpha \):
Шаг 1. Запишем выражение: \( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \)
Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), откуда \( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha \).
Шаг 3. Подставим вместо \( \cos^2 \alpha \):
\( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha — (1 — \sin^2 \alpha) \)
Шаг 4. Раскроем скобки: \( \sin^2 \alpha — 1 + \sin^2 \alpha \)
Шаг 5. Приведём подобные слагаемые: \( 2\sin^2 \alpha — 1 \)
Ответ: \( 2\sin^2 \alpha — 1 \)
б) выразим \( \tan^2 \alpha — \cot^2 \alpha \) через \( \cos \alpha \):
Шаг 1. Запишем определения:
\( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
\( \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 2. Подставим их в выражение:
\( \tan^2 \alpha — \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} — \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 3. Приведём к общему знаменателю:
\( = \frac{\sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} \)
Шаг 4. Применим формулу разности квадратов:
\( \sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \)
Шаг 5. Но \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), поэтому:
\( \sin^4 \alpha — \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha \)
Шаг 6. Значит:
\( \tan^2 \alpha — \cot^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha} \)
Шаг 7. Теперь выразим через \( \cos \alpha \):
\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha \)
\( \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = (1 — \cos^2 \alpha) — \cos^2 \alpha = 1 — 2\cos^2 \alpha \)
Шаг 8. \( \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha (1 — \cos^2 \alpha) \)
Шаг 9. Подставляем:
\( \tan^2 \alpha — \cot^2 \alpha = \frac{1 — 2\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha — \cos^4 \alpha} \)
Ответ: \( \frac{1 — 2\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha — \cos^4 \alpha} \)
в) выразим \( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \) через \( \tan \alpha \):
Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) (если \( \cos \alpha \neq 0 \)):
\( \frac{\sin \alpha — \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} \)
Шаг 2. Получаем:
\( = \frac{\tan \alpha — 1}{\tan \alpha + 1} \)
Ответ: \( \frac{\tan \alpha — 1}{\tan \alpha + 1} \)
г) выразим \( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} \) через \( \cot \alpha \):
Шаг 1. Разделим числитель и знаменатель на \( \sin \alpha \) (если \( \sin \alpha \neq 0 \)):
\( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha — \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} — \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} \)
Шаг 2. Получаем:
\( = \frac{1 + \cot \alpha}{1 — \cot \alpha} \)
Ответ: \( \frac{1 + \cot \alpha}{1 — \cot \alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.