ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1389 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите:

а) \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \) через \( \sin \alpha \);

б) \( \sin \alpha \), \( \tan \alpha \) и \( \cot \alpha \) через \( \cos \alpha \);

в) \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \) и \( \cot \alpha \) через \( \tan \alpha \);

г) \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \) и \( \tan \alpha \) через \( \cot \alpha \).

Выразить функции:

а) Через \( \sin a \):

\( \cos a = \pm \sqrt{1 — \sin^2 a}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \pm \frac{\sin a}{\sqrt{1 — \sin^2 a}}; \)

\( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \pm \frac{\sqrt{1 — \sin^2 a}}{\sin a}; \)

б) Через \( \cos a \):

\( \sin a = \pm \sqrt{1 — \cos^2 a}; \)

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \pm \frac{\sqrt{1 — \cos^2 a}}{\cos a}; \)

\( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \pm \frac{\cos a}{\sqrt{1 — \cos^2 a}}; \)

в) Через \( \tan a \):

\( \cos a = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 a}}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a}; \)

\( \sin a = \tan a \cdot \cos a = \pm \frac{\tan a}{\sqrt{1 + \tan^2 a}}; \)

г) Через \( \cot a \):

\( \sin a = \cot a \cdot \cos a = \pm \frac{\cot a}{\sqrt{1 + \cot^2 a}}, \quad \tan a = \frac{1}{\cot a}; \)

\( \cos a = \cot a \cdot \sin a = \pm \frac{\cot a}{\sqrt{1 + \cot^2 a}}. \)

а) выразим \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \) через \( \sin \alpha \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Из него выразим косинус:

\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha \), отсюда \( \cos \alpha = \pm \sqrt{1 — \sin^2 \alpha} \).

Знак зависит от четверти, где находится угол \( \alpha \).

Теперь выразим тангенс:

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\pm \sqrt{1 — \sin^2 \alpha}} = \pm \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 — \sin^2 \alpha}} \)

Котангенс:

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\pm \sqrt{1 — \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} = \pm \frac{\sqrt{1 — \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} \)

б) выразим \( \sin \alpha \), \( \tan \alpha \), \( \cot \alpha \) через \( \cos \alpha \):

Снова основное тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \). Выразим синус:

\( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha \), значит \( \sin \alpha = \pm \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} \).

Тангенс:

\( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \sqrt{1 — \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} = \pm \frac{\sqrt{1 — \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} \)

Котангенс:

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\pm \sqrt{1 — \cos^2 \alpha}} = \pm \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 — \cos^2 \alpha}} \)

в) выразим \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \cot \alpha \) через \( \tan \alpha \):

Используем соотношение \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), отсюда:

\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \), значит \( \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} \)

Синус можно найти как \( \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \tan \alpha \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \pm \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} \)

Котангенс — это обратная величина тангенса: \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \)

г) выразим \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \tan \alpha \) через \( \cot \alpha \):

Аналогично используем \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \), значит:

\( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha} \), тогда \( \sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}} \)

Косинус можно выразить так: \( \cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = \cot \alpha \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}} = \pm \frac{\cot \alpha}{\sqrt{1 + \cot^2 \alpha}} \)

Тангенс — это обратная величина котангенса: \( \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} \)