ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1388 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что \( 360^\circ < \alpha < 450^\circ \). Найдите:

а) \( \sin \alpha \), если \( \tan \alpha = 1\frac{7}{8}; \)

б) \( \cos \alpha \), если \( \cot \alpha = \frac{1}{2}; \)

в) \( \tan \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{9}{41}; \)

г) \( \cot \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{2}{3}; \)

д) \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{24}{25}; \)

е) \( \cot \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)

ж) \( \cos \alpha \), если \( \tan \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}; \)

з) \( \sin \alpha \), если \( \cot \alpha = \frac{21}{29}. \)

Известно, что \( 360^\circ < a < 450^\circ \):

а) \( \tan a = 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{8}{15}; \)

\( \sin a = \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{64}{225}}} = \frac{15}{17}; \)

Ответ: \( \frac{15}{17}. \)

б) \( \cot a = \frac{1}{2}, \quad \tan a = \frac{1}{\cot a} = 2; \)

\( \cos a = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + 4}} = \frac{\sqrt{5}}{5}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{5}. \)

в) \( \cos a = \frac{9}{41}, \quad \cos^2 a = \frac{81}{1681}; \)

\( \tan a = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 a} — 1} = \sqrt{\frac{1681}{81} — 1} = \frac{40}{9}; \)

Ответ: \( \frac{40}{9}. \)

г) \( \sin a = \frac{2}{3}, \quad \sin^2 a = \frac{4}{9}; \)

\( \cot a = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 a} — 1} = \sqrt{\frac{9}{4} — 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{2}. \)

д) \( \sin a = \frac{24}{25}, \quad \sin^2 a = \frac{576}{625}; \)

\( \cot a = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 a} — 1} = \sqrt{\frac{625}{576} — 1} = \frac{7}{24}; \)

Ответ: \( \frac{24}{7}. \)

e) \( \cos a = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos^2 a = \frac{3}{4}; \)

\( \tan a = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 a} — 1} = \sqrt{\frac{4}{3} — 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}; \)

\( \cot a = \frac{1}{\tan a} = \sqrt{3}; \)

Ответ: \( \sqrt{3}. \)

ж) \( \tan a = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \tan^2 a = \frac{4}{5}; \)

\( \cos a = \sqrt{\frac{1}{1 + \tan^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{4}{5}}} = \frac{\sqrt{5}}{3}; \)

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{3}. \)

з) \( \cot a = \frac{21}{29}, \quad \cot^2 a = \frac{441}{841}; \)

\( \sin a = \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 a}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{441}{841}}} = \frac{29}{\sqrt{1282}}; \)

Ответ: \( \frac{29}{\sqrt{1282}}. \)

а) \( \sin \alpha \), если \( \tan \alpha = 1\frac{7}{8} \)

Запишем условие: \( \tan \alpha = 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8} \).

Угол \( \alpha \) лежит в диапазоне \( 360^\circ < \alpha < 450^\circ \), то есть в IV четверти. В этой четверти синус отрицателен, косинус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны.

Тангенс — это отношение синуса к косинусу: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Пусть \( \sin \alpha = x \), \( \cos \alpha = y \), тогда \( \frac{x}{y} = \frac{15}{8} \), откуда \( x = \frac{15}{8}y \).

Используем основное тригонометрическое тождество \( x^2 + y^2 = 1 \):

\( \left(\frac{15}{8}y\right)^2 + y^2 = 1 \)

\( \frac{225}{64}y^2 + y^2 = 1 \)

\( \frac{225y^2 + 64y^2}{64} = 1 \)

\( \frac{289y^2}{64} = 1 \)

\( y^2 = \frac{64}{289} \Rightarrow y = \frac{8}{17} \), так как косинус в IV четверти положителен.

Теперь найдём синус: \( x = \frac{15}{8} \cdot \frac{8}{17} = \frac{15}{17} \). Но в IV четверти синус отрицателен, поэтому окончательно: \( \sin \alpha = -\frac{15}{17} \).

Ответ: \( -\frac{15}{17} \)

б) \( \cos \alpha \), если \( \cot \alpha = \frac{1}{2} \)

Пусть \( \cot \alpha = \frac{1}{2} \). Вспомним, что \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \). В IV четверти котангенс отрицателен, значит верное значение: \( \cot \alpha = -\frac{1}{2} \).

Тогда \( \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -2 \).

Пусть \( \sin \alpha = x \), \( \cos \alpha = y \), тогда \( \frac{x}{y} = -2 \), откуда \( x = -2y \).

Подставляем в тождество: \( (-2y)^2 + y^2 = 1 \)

\( 4y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow 5y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{5}} \), где взяли положительный корень, потому что \( \cos \alpha \) положителен в IV четверти.

Значит, \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \).

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)

в) \( \tan \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{9}{41} \)

По условию \( \cos \alpha = \frac{9}{41} \). Косинус положителен, как и должно быть в IV четверти.

Вычислим синус по основному тождеству: \( \sin^2 \alpha = 1 — \cos^2 \alpha = 1 — \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 — \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} \)

\( \sin \alpha = -\frac{40}{41} \), потому что в IV четверти синус отрицателен.

Тангенс находим как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} \).

Ответ: \( -\frac{40}{9} \)

г) \( \cot \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \)

По условию \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \). Однако, в IV четверти синус должен быть отрицательным, поэтому берём \( \sin \alpha = -\frac{2}{3} \).

\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \) (положительный корень).

Котангенс: \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( -\frac{\sqrt{5}}{2} \)

д) \( \tan \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{24}{25} \)

По условию \( \sin \alpha = \frac{24}{25} \), но в IV четверти синус отрицателен, значит \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \).

\( \cos^2 \alpha = 1 — \sin^2 \alpha = 1 — \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{7}{25} \) (положительный корень).

Тангенс: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7} \)

Ответ: \( -\frac{24}{7} \)

е) \( \cot \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Косинус положителен, значит всё верно по четверти. \( \cos^2 \alpha = \frac{3}{4} \), \( \sin^2 \alpha = 1 — \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \), \( \sin \alpha = -\frac{1}{2} \) (отрицательно).

\( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \)

Ответ: \( -\sqrt{3} \)

ж) \( \cos \alpha \), если \( \tan \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

В IV четверти тангенс отрицателен, значит \( \tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \).

\( \tan^2 \alpha = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{4}{5} \)

\( 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \)

\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \) (положительный корень).

Ответ: \( \frac{\sqrt{5}}{3} \)

з) \( \sin \alpha \), если \( \cot \alpha = \frac{21}{29} \)

В IV четверти котангенс отрицателен, значит \( \cot \alpha = -\frac{21}{29} \).

\( \cot^2 \alpha = \frac{441}{841} \), \( 1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{441}{841} = \frac{1282}{841} \)

\( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \cot^2 \alpha} = \frac{841}{1282} \Rightarrow \sin \alpha = -\frac{29}{\sqrt{1282}} \)

Ответ: \( -\frac{29}{\sqrt{1282}} \)