Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1383 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}; \)
б) \( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{\sin a}{1 — \cos a} — \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \)
\( = \frac{\sin a (1 + \cos a) — \sin a (1 — \cos a)}{(1 — \cos a)(1 + \cos a)} = \)
\( = \frac{\sin a + \sin a \cos a — \sin a + \sin a \cos a}{1 — \cos^2 a} = \)
\( = \frac{2 \sin a \cos a}{\sin^2 a} = \frac{2 \cos a}{\sin a} = 2 \cot a; \)
б) \( \frac{\cos a}{1 — \sin a} — \frac{\cos a}{1 + \sin a} = \)
\( = \frac{\cos a (1 + \sin a) — \cos a (1 — \sin a)}{(1 — \sin a)(1 + \sin a)} = \)
\( = \frac{\cos a + \sin a \cos a — \cos a + \sin a \cos a}{1 — \sin^2 a} = \)
\( = \frac{2 \sin a \cos a}{\cos^2 a} = \frac{2 \sin a}{\cos a} = 2 \tan a. \)
Задание: Преобразуйте выражение
а) \( \frac{\sin \alpha}{1 — \cos \alpha} — \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \)
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель для двух дробей \( (1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \), и выражение становится:
\( \frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha) — \sin \alpha (1 — \cos \alpha)}{(1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} \)
Шаг 2: Упрощаем числитель:
\( \sin \alpha (1 + \cos \alpha) — \sin \alpha (1 — \cos \alpha) = \sin \alpha + \)
\(\sin \alpha \cos \alpha — \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)
Шаг 3: Упрощаем знаменатель:
\( (1 — \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \) (по тождеству Пифагора)
Шаг 4: Подставляем числитель и знаменатель:
\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2 \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2 \cot \alpha\)
Ответ: \( 2 \cot \alpha \)
б) \( \frac{\cos \alpha}{1 — \sin \alpha} — \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} \)
Шаг 1: Приводим к общему знаменателю. Общий знаменатель для двух дробей \( (1 — \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \), и выражение становится:
\( \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha) — \cos \alpha (1 — \sin \alpha)}{(1 — \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} \)
Шаг 2: Упрощаем числитель:
\( \cos \alpha (1 + \sin \alpha) — \cos \alpha (1 — \sin \alpha) = \cos \alpha +\)
\(\sin \alpha \cos \alpha — \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\)
Шаг 3: Упрощаем знаменатель:
\( (1 — \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 — \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \) (по тождеству Пифагора)
Шаг 4: Подставляем числитель и знаменатель:
\( \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \tan \alpha\)
Ответ: \( 2 \tan \alpha \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.