Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1382 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha; \)
б) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cot^2 \alpha; \)
в) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} — \frac{1}{\cot^2 \alpha}; \)
г) \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} — \frac{1}{\tan^2 \alpha}. \)
Упростить выражение:
а) \( \sin^2 a + \cos^2 a + \tan^2 a = 1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}; \)
б) \( \sin^2 a + \cos^2 a + \cot^2 a = 1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}; \)
в) \( \frac{1}{\cos^2 a} — \frac{1}{\cot^2 a} = 1 + \tan^2 a — \tan^2 a = 1; \)
г) \( \frac{1}{\sin^2 a} — \frac{1}{\tan^2 a} = 1 + \cot^2 a — \cot^2 a = 1. \)
Задана задача: Упростите выражение:
а) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha \)
Шаг 1: Используем тождество Пифагора \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Таким образом, выражение можно переписать как:
\( 1 + \tan^2 \alpha \)
Шаг 2: Используем тождество для тангенса: \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), так как \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) по тождеству Пифагора для тангенса.
Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
б) \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cot^2 \alpha \)
Шаг 1: Используем тождество Пифагора \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Таким образом, выражение становится:
\( 1 + \cot^2 \alpha \)
Шаг 2: Используем тождество для котангенса: \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \), так как \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) по тождеству Пифагора для котангенса.
Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)
в) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} — \frac{1}{\cot^2 \alpha} \)
Шаг 1: Используем тождество для котангенса: \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), так что \( \frac{1}{\cot^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \).
Таким образом, выражение становится:
\( \frac{1}{\cos^2 \alpha} — \tan^2 \alpha \)
Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha \), по тождеству для тангенса. Тогда выражение будет:
\( 1 + \tan^2 \alpha — \tan^2 \alpha = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
г) \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} — \frac{1}{\tan^2 \alpha} \)
Шаг 1: Используем тождество для тангенса: \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), так что \( \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \).
Таким образом, выражение становится:
\( \frac{1}{\sin^2 \alpha} — \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:
\( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 3: Мы знаем, что \( 1 — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \), так что выражение становится:
\( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 \)
Ответ: \( 1 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.