ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1381 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение:

а) \( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}; \)

б) \( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha}; \)

в) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1}; \)

г) \( \frac{\cos^2 a — 1}{\sin^2 a — 1}; \)

д) \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} + 1; \)

e) \( 1 + \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha}. \)

Преобразовать выражение:

а) \( \frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a; \)

б) \( \frac{\sin^2 a — 1}{\sin^2 a} = -\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^2 a; \)

в) \( \frac{1 — \sin^2 a}{1 — \cos^2 a} = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a; \)

г) \( \frac{\cos^2 a — 1}{\sin^2 a — 1} = \frac{-\sin^2 a}{-\cos^2 a} = \tan^2 a; \)

д) \( \frac{\tan a}{\cot a} + 1 = \tan^2 a + 1 = \frac{1}{\cos^2 a}; \)

e) \( 1 + \frac{\cot a}{\tan a} = 1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}. \)

Задана задача: Преобразуйте выражение:

а) \( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( 1 — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Из тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), мы можем выразить \( 1 — \cos^2 \alpha \) как \( \sin^2 \alpha \).

Таким образом, преобразуем выражение:

\( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)

Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \), так как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

Ответ: \( \tan^2 \alpha \)

б) \( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha} \)

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), чтобы выразить \( 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \). Тогда \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).

Таким образом, выражение становится:

\( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)

Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha \), так как \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Ответ: \( -\cot^2 \alpha \)

в) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} \)

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha — 1 = -\sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).

Таким образом, преобразуем выражение:

\( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} = \frac{-\sin^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)

Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha \), так как \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Ответ: \( \cot^2 \alpha \)

г) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} \)

Шаг 1: Мы уже использовали эти тождества: \( \cos^2 \alpha — 1 = -\sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).

Преобразуем выражение:

\( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} = \frac{-\sin^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \)

Ответ: \( \tan^2 \alpha \)

д) \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} + 1 \)

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), чтобы выразить \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} \) как:

\( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\frac{1}{\tan \alpha}} = \tan^2 \alpha \)

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:

\( \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), так как \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) по тождеству Пифагора.

Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

е) \( 1 + \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} \)

Шаг 1: Используем тождество \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), чтобы выразить \( \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} \) как:

\( \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} = \frac{1}{\tan^2 \alpha} \)

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:

\( 1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \), так как \( \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) по определению тангенса.

Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)