Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1381 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}; \)
б) \( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha}; \)
в) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1}; \)
г) \( \frac{\cos^2 a — 1}{\sin^2 a — 1}; \)
д) \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} + 1; \)
e) \( 1 + \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha}. \)
Преобразовать выражение:
а) \( \frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tan^2 a; \)
б) \( \frac{\sin^2 a — 1}{\sin^2 a} = -\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = -\cot^2 a; \)
в) \( \frac{1 — \sin^2 a}{1 — \cos^2 a} = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a; \)
г) \( \frac{\cos^2 a — 1}{\sin^2 a — 1} = \frac{-\sin^2 a}{-\cos^2 a} = \tan^2 a; \)
д) \( \frac{\tan a}{\cot a} + 1 = \tan^2 a + 1 = \frac{1}{\cos^2 a}; \)
e) \( 1 + \frac{\cot a}{\tan a} = 1 + \cot^2 a = \frac{1}{\sin^2 a}. \)
Задана задача: Преобразуйте выражение:
а) \( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( 1 — \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
Из тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), мы можем выразить \( 1 — \cos^2 \alpha \) как \( \sin^2 \alpha \).
Таким образом, преобразуем выражение:
\( \frac{1 — \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \), так как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Ответ: \( \tan^2 \alpha \)
б) \( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), чтобы выразить \( 1 = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \). Тогда \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).
Таким образом, выражение становится:
\( \frac{\sin^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha \), так как \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
Ответ: \( -\cot^2 \alpha \)
в) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} \)
Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \cos^2 \alpha — 1 = -\sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).
Таким образом, преобразуем выражение:
\( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} = \frac{-\sin^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
Шаг 2: Мы знаем, что \( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cot^2 \alpha \), так как \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).
Ответ: \( \cot^2 \alpha \)
г) \( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} \)
Шаг 1: Мы уже использовали эти тождества: \( \cos^2 \alpha — 1 = -\sin^2 \alpha \) и \( \sin^2 \alpha — 1 = -\cos^2 \alpha \).
Преобразуем выражение:
\( \frac{\cos^2 \alpha — 1}{\sin^2 \alpha — 1} = \frac{-\sin^2 \alpha}{-\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \)
Ответ: \( \tan^2 \alpha \)
д) \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} + 1 \)
Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), чтобы выразить \( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} \) как:
\( \frac{\tan \alpha}{\cot \alpha} = \frac{\tan \alpha}{\frac{1}{\tan \alpha}} = \tan^2 \alpha \)
Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:
\( \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \), так как \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) по тождеству Пифагора.
Ответ: \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
е) \( 1 + \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} \)
Шаг 1: Используем тождество \( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \), чтобы выразить \( \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} \) как:
\( \frac{\cot \alpha}{\tan \alpha} = \frac{1}{\tan^2 \alpha} \)
Шаг 2: Подставляем в исходное выражение:
\( 1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \), так как \( \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) по определению тангенса.
Ответ: \( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.