Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1374 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = 4; \)
б) \( \sqrt{x^2 + 4x — 9} — \sqrt{x^2 + 4x — 20} = 1. \)
Решить уравнение:
а) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = 4; \)
Пусть \( y = \sqrt{x + 1} \), тогда:
\( \sqrt{y^2 + 2y + 1} = 4; \)
\( \sqrt{(y + 1)^2} = 4; \)
\( |y + 1| = 4; \)
\( y + 1 = 4; \)
\( y = 3; \)
Вернем замену:
\( \sqrt{x + 1} = 3; \)
\( x + 1 = 9; \)
\( x = 8; \)
Ответ: 8.
б) \( \sqrt{x^2 + 4x — 9} — \sqrt{x^2 + 4x — 20} = 1; \)
Пусть \( y = x^2 + 4x — 9 \), тогда:
\( \sqrt{y} — \sqrt{y — 11} = 1; \)
\( \sqrt{y} = 1 + \sqrt{y — 11}; \)
\( y = 1 + 2\sqrt{y — 11} + y — 11; \)
\( 2\sqrt{y — 11} = 10, \quad \sqrt{y — 11} = 5; \)
\( y — 11 = 25, \quad y = 36; \)
Вернем замену:
\( x^2 + 4x — 9 = 36; \)
\( x^2 + 4x — 45 = 0; \)
\( D = 4^2 + 4 \cdot 45 = 16 + 180 = 196; \) тогда:
\( x_1 = \frac{-4 — 14}{2} = -9 \) и \( x_2 = \frac{-4 + 14}{2} = 5; \)
Ответ: -9; 5.
Задана задача: Решите уравнение:
а) \( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = 4 \)
Шаг 1: Пусть \( y = \sqrt{x + 1} \), таким образом, \( y^2 = x + 1 \), и тогда уравнение можно переписать как:
\( \sqrt{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}} = \sqrt{y^2 + 2y + 1} = 4; \)
Шаг 2: Упростим выражение, используя формулу \( \sqrt{(y + 1)^2} = |y + 1| \). Получаем:
\( |y + 1| = 4; \)
Шаг 3: Поскольку выражение под модулем не может быть отрицательным, то \( y + 1 = 4 \). Следовательно,:
\( y = 3; \)
Шаг 4: Вернем замену \( y = \sqrt{x + 1} \), то есть \( \sqrt{x + 1} = 3 \). Возводим обе части в квадрат:
\( x + 1 = 9; \)
Шаг 5: Из этого уравнения мы находим \( x = 9 — 1 = 8 \).
Ответ: \( x = 8 \)
б) \( \sqrt{x^2 + 4x — 9} — \sqrt{x^2 + 4x — 20} = 1 \)
Шаг 1: Пусть \( y = x^2 + 4x — 9 \), тогда уравнение примет вид:
\( \sqrt{y} — \sqrt{y — 11} = 1; \)
Шаг 2: Переносим один из корней на правую сторону уравнения:
\( \sqrt{y} = 1 + \sqrt{y — 11}; \)
Шаг 3: Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
\( y = (1 + \sqrt{y — 11})^2; \)
Раскроем скобки:
\( y = 1 + 2\sqrt{y — 11} + (y — 11); \)
Упрощаем:
\( y = 1 + 2\sqrt{y — 11} + y — 11; \)
\( y = y — 10 + 2\sqrt{y — 11}; \)
Убираем \( y \) с обеих сторон:
\( 0 = -10 + 2\sqrt{y — 11}; \)
Шаг 4: Переносим -10 на правую сторону:
\( 10 = 2\sqrt{y — 11}; \)
Делим обе части на 2:
\( 5 = \sqrt{y — 11}; \)
Шаг 5: Теперь возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\( 25 = y — 11; \)
Таким образом, \( y = 36 \).
Шаг 6: Вернем замену \( y = x^2 + 4x — 9 \). Получаем уравнение:
\( x^2 + 4x — 9 = 36; \)
Преобразуем это уравнение:
\( x^2 + 4x — 45 = 0; \)
Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение. Находим дискриминант:
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196; \)
Теперь находим корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-4 — 14}{2} = -9; \)
\( x_2 = \frac{-4 + 14}{2} = 5; \)
Ответ: \( x = -9 \) или \( x = 5 \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.