Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1372 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите равенство:
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
б) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right). \)
Доказать равенство:
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
\( \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
\( \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right); \)
Равенство доказано.
б) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); \)
\( \cot\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right)\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); \)
\( \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right); \)
Равенство доказано.
Задана задача: Докажите равенство:
а) \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \)
Шаг 1: Используем известное тригонометрическое тождество, которое связывает синус и косинус:
Формула для преобразования: \( \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \).
Преобразуем левую часть равенства, применяя эту формулу:
\( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\right) \)
Шаг 2: Упростим выражение внутри косинуса:
\( \frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} — \alpha = \frac{\pi}{4} — \alpha \)
Таким образом, мы получаем следующее равенство:
\( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \)
Ответ: \( \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) \), равенство доказано.
б) \( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \)
Шаг 1: Используем тождество для котангенса и тангенса:
Тождество: \( \cot\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \tan x \).
Применим это тождество к левой части выражения:
\( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right)\right) \)
Шаг 2: Упростим выражение внутри котангенса:
\( \frac{\pi}{2} — \left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + \alpha = \frac{\pi}{4} + \alpha \)
Таким образом, мы получаем:
\( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \)
Ответ: \( \tan\left(\frac{\pi}{4} — \alpha\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \), равенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.