ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1368 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите тождество

\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin \alpha. \)

Доказать тождество:

\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin a; \)

\( \frac{-\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos^2 a}{-\cos a} \cdot \frac{\cot a}{\cot a} = \sin a, \quad \sin a = \sin a; \)

Тождество доказано.

Задана задача: Докажите тождество:

\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin \alpha \)

1. Преобразуем первую часть выражения: \( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \)

Используем формулы для тригонометрических функций:

\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), так как \( \sin(\pi + x) = -\sin x \);

\( \cos(2\pi — \alpha) = \cos \alpha \), так как \( \cos(2\pi — x) = \cos x \);

Подставляем эти значения в выражение:

\( \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

Ответ: \( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)

2. Преобразуем вторую часть выражения: \( \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \)

Используем формулы для тригонометрических функций:

\( \cos^2(-\alpha) = \cos^2 \alpha \), так как \( \cos(-x) = \cos x \);

\( \sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) = -\cos \alpha \), так как \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x \);

Подставляем эти значения в выражение:

\( \frac{\cos^2 \alpha}{-\cos \alpha} = -\cos \alpha \)

Ответ: \( \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = -\cos \alpha \)

3. Преобразуем третью часть выражения: \( \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \)

Используем формулы для тригонометрических функций:

\( \cot(\pi + \alpha) = -\cot \alpha \), так как \( \cot(\pi + x) = -\cot x \);

\( \tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) = -\cot \alpha \), так как \( \tan\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cot x \);

Подставляем эти значения в выражение:

\( \frac{-\cot \alpha}{-\cot \alpha} = 1 \)

Ответ: \( \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = 1 \)

4. Объединяем все части выражения:

Теперь, подставив все части в исходное выражение, получаем:

\( \left(-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cdot (-\cos \alpha) \cdot 1 = \sin \alpha \)

Упрощаем:

\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha \)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.