Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1368 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество
\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin \alpha. \)
Доказать тождество:
\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin a; \)
\( \frac{-\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos^2 a}{-\cos a} \cdot \frac{\cot a}{\cot a} = \sin a, \quad \sin a = \sin a; \)
Тождество доказано.
Задана задача: Докажите тождество:
\( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \cdot \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \cdot \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = \sin \alpha \)
1. Преобразуем первую часть выражения: \( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} \)
Используем формулы для тригонометрических функций:
\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \), так как \( \sin(\pi + x) = -\sin x \);
\( \cos(2\pi — \alpha) = \cos \alpha \), так как \( \cos(2\pi — x) = \cos x \);
Подставляем эти значения в выражение:
\( \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
Ответ: \( \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(2\pi — \alpha)} = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
2. Преобразуем вторую часть выражения: \( \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \)
Используем формулы для тригонометрических функций:
\( \cos^2(-\alpha) = \cos^2 \alpha \), так как \( \cos(-x) = \cos x \);
\( \sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) = -\cos \alpha \), так как \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cos x \);
Подставляем эти значения в выражение:
\( \frac{\cos^2 \alpha}{-\cos \alpha} = -\cos \alpha \)
Ответ: \( \frac{\cos^2(-\alpha)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = -\cos \alpha \)
3. Преобразуем третью часть выражения: \( \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} \)
Используем формулы для тригонометрических функций:
\( \cot(\pi + \alpha) = -\cot \alpha \), так как \( \cot(\pi + x) = -\cot x \);
\( \tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right) = -\cot \alpha \), так как \( \tan\left(\frac{3\pi}{2} — x\right) = -\cot x \);
Подставляем эти значения в выражение:
\( \frac{-\cot \alpha}{-\cot \alpha} = 1 \)
Ответ: \( \frac{\cot(\pi + \alpha)}{\tan\left(\frac{3\pi}{2} — \alpha\right)} = 1 \)
4. Объединяем все части выражения:
Теперь, подставив все части в исходное выражение, получаем:
\( \left(-\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cdot (-\cos \alpha) \cdot 1 = \sin \alpha \)
Упрощаем:
\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos \alpha = \sin \alpha \)
Что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.