ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1362 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

а) \(\tan^2 \frac{7\pi}{6} = \tan^2 \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = \tan^2 \frac{\pi}{6} = \frac{1}{3}; \)

б) \(\cos^2 \frac{11\pi}{4} = \cos^2 \left( 3\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}; \)

в) \(\cot^2 \frac{4\pi}{3} = \cot^2 \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \cot^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3}; \)

г) \(\sin^2 \frac{7\pi}{4} = \sin^2 \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}; \)

д) \(\tan^2 330^\circ = \tan^2 (360^\circ — 30^\circ) = \tan^2 30^\circ = \frac{1}{3}; \)

е) \(\sin^2 315^\circ = \sin^2 (360^\circ — 45^\circ) = \sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}; \)

Задана задача: Найдите значение выражения:

а) \( \tan^2 \frac{7\pi}{6} \)

1. Угол \( \frac{7\pi}{6} \) находится в третьей четверти. Используем формулу для тангенса:

\( \tan\left(\pi + x\right) = \tan x \), где \( x = \frac{\pi}{6} \).

2. Таким образом:

\( \tan^2 \frac{7\pi}{6} = \tan^2 \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = \tan^2 \frac{\pi}{6} \)

3. Мы знаем, что \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Следовательно:

\( \tan^2 \frac{7\pi}{6} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \tan^2 \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3} \)

б) \( \cos^2 \frac{11\pi}{4} \)

1. Угол \( \frac{11\pi}{4} \) можно упростить, вычитая полный круг \( 2\pi \):

\( \frac{11\pi}{4} — 2\pi = \frac{11\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)

2. Используем формулу для косинуса:

\( \cos\left(3\pi — \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \)

3. Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), следовательно:

\( \cos^2 \frac{11\pi}{4} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \cos^2 \frac{11\pi}{4} = \frac{1}{2} \)

в) \( \cot^2 \frac{4\pi}{3} \)

1. Угол \( \frac{4\pi}{3} \) находится в третьей четверти. Используем формулу для котангенса:

\( \cot\left(\pi — x\right) = -\cot x \), где \( x = \frac{\pi}{3} \).

2. Таким образом:

\( \cot^2 \frac{4\pi}{3} = \cot^2 \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \cot^2 \frac{\pi}{3} \)

3. Мы знаем, что \( \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), следовательно:

\( \cot^2 \frac{4\pi}{3} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \cot^2 \frac{4\pi}{3} = \frac{1}{3} \)

г) \( \sin^2 \frac{7\pi}{4} \)

1. Угол \( \frac{7\pi}{4} \) находится в четвертой четверти. Используем формулу для синуса:

\( \sin\left(2\pi — x\right) = -\sin x \), где \( x = \frac{\pi}{4} \).

2. Таким образом:

\( \sin^2 \frac{7\pi}{4} = \sin^2 \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \sin^2 \frac{\pi}{4} \)

3. Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), следовательно:

\( \sin^2 \frac{7\pi}{4} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \sin^2 \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{2} \)

д) \( \tan^2 330^\circ \)

1. Угол \( 330^\circ \) находится в четвертой четверти. Используем формулу для тангенса:

\( \tan\left(360^\circ — x\right) = -\tan x \), где \( x = 30^\circ \).

2. Таким образом:

\( \tan^2 330^\circ = \tan^2 \left( 360^\circ — 30^\circ \right) = \tan^2 30^\circ \)

3. Мы знаем, что \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \), следовательно:

\( \tan^2 330^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \tan^2 330^\circ = \frac{1}{3} \)

е) \( \sin^2 315^\circ \)

1. Угол \( 315^\circ \) находится в четвертой четверти. Используем формулу для синуса:

\( \sin\left(360^\circ — x\right) = -\sin x \), где \( x = 45^\circ \).

2. Таким образом:

\( \sin^2 315^\circ = \sin^2 \left( 360^\circ — 45^\circ \right) = \sin^2 45^\circ \)

3. Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \), следовательно:

\( \sin^2 315^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \sin^2 315^\circ = \frac{1}{2} \)