ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1357 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Приведите к тригонометрической функции угла от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\):

а) \(\sin 0.8\pi\);

в) \(\tan 1.3\pi\);

д) \(\sin 1.7\pi\);

ж) \(\tan 1.9\pi\);

б) \(\cos \frac{2\pi}{3}\);

г) \(\cot \frac{5\pi}{4}\);

е) \(\cos \frac{7\pi}{4}\);

з) \(\cot \frac{9\pi}{4}\).

Выразить через угол \( 0 < a < \frac{\pi}{2} \):

а) \(\sin 0.8\pi = \sin (\pi — 0.2\pi) = \sin 0.2\pi\);

б) \(\cos \frac{2\pi}{3} = \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = -\cos \frac{\pi}{3}\);

в) \(\tan 1.3\pi = \tan (\pi + 0.3\pi) = \tan 0.3\pi\);

г) \(\cot \frac{5\pi}{4} = \cot \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4}\);

д) \(\sin 1.7\pi = \sin (1.5\pi + 0.2\pi) = -\cos 0.2\pi\);

е) \(\cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left( 2\pi — \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4}\);

ж) \(\tan 1.9\pi = \tan (2\pi — 0.1\pi) = -\tan 0.1\pi\);

з) \(\cot \frac{9\pi}{4} = \cot \left( 2\pi + \frac{\pi}{4} \right) = \cot \frac{\pi}{4}\);

а) \( \sin 0.8\pi \):

Вычислим значение угла в градусах: \( 0.8\pi \) радиан = \( 0.8 \times 180^\circ = 144^\circ \). Угол 144° находится во второй четверти, где синус положителен. По формуле приведения: если угол во второй четверти, то \( \sin(\pi — \alpha) = \sin \alpha \). Значит, \( 0.8\pi = \pi — 0.2\pi \), поэтому \( \sin 0.8\pi = \sin(\pi — 0.2\pi) = \sin 0.2\pi \). Отсюда видно, что по модулю значение совпадает с синусом острого угла \( 0.2\pi \).

Ответ: \( \sin 0.2\pi \).

б) \( \cos \frac{2\pi}{3} \):

В градусах: \( \frac{2\pi}{3} = 120^\circ \). 120° — это вторая четверть, косинус здесь отрицателен. Формула приведения для косинуса во второй четверти: \( \cos(\pi — \alpha) = -\cos \alpha \). Угол \( \frac{2\pi}{3} = \pi — \frac{\pi}{3} \), значит, \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\cos \frac{\pi}{3} \). Полученное выражение связывает исходный угол с табличным.

Ответ: \( -\cos \frac{\pi}{3} \).

в) \( \tan 1.3\pi \):

В градусах: \( 1.3\pi = 1\pi + 0.3\pi = 180^\circ + 54^\circ = 234^\circ \). Это третья четверть, где тангенс положителен. Формула приведения: \( \tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha \). \( 1.3\pi = \pi + 0.3\pi \), следовательно, \( \tan 1.3\pi = \tan 0.3\pi \).

Ответ: \( \tan 0.3\pi \).

г) \( \cot \frac{5\pi}{4} \):

В градусах: \( \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ \). Третья четверть, где котангенс положителен. Формула приведения: \( \cot(\pi + \alpha) = \cot \alpha \). Получаем: \( \cot \frac{5\pi}{4} = \cot \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \cot \frac{\pi}{4} \).

д) \( \sin 1.7\pi \):

В градусах: \( 1.7\pi = \pi + 0.7\pi = 180^\circ + 126^\circ = 306^\circ \), то есть это четвёртая четверть, где синус отрицателен. Представим угол как \( 1.5\pi + 0.2\pi = 270^\circ + 36^\circ \). Формула: \( \sin(1.5\pi + \alpha) = -\cos \alpha \). Получаем: \( \sin 1.7\pi = -\cos 0.2\pi \).

Ответ: \( -\cos 0.2\pi \).

е) \( \cos \frac{7\pi}{4} \):

\( \frac{7\pi}{4} = 2\pi — \frac{\pi}{4} \) или \( 360^\circ — 45^\circ = 315^\circ \). Четвертая четверть, косинус здесь положителен. Формула: \( \cos(2\pi — \alpha) = \cos \alpha \), отсюда \( \cos \frac{7\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \cos \frac{\pi}{4} \).

ж) \( \tan 1.9\pi \):

В градусах: \( 1.9\pi = 1.9 \times 180^\circ = 342^\circ \), это четвертая четверть, где тангенс отрицателен. Представим угол как \( 2\pi — 0.1\pi \). Формула: \( \tan(2\pi — \alpha) = -\tan \alpha \). Значит, \( \tan 1.9\pi = -\tan 0.1\pi \).

Ответ: \( -\tan 0.1\pi \).

з) \( \cot \frac{9\pi}{4} \):

\( \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \) — это полный оборот и ещё \( \frac{\pi}{4} \) (то есть \( 450^\circ \)), что эквивалентно \( \frac{\pi}{4} \) по значению функции. Формула: периодичность котангенса — \( \cot(x + 2\pi) = \cot x \). Поэтому \( \cot \frac{9\pi}{4} = \cot \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \( \cot \frac{\pi}{4} \).