ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1354 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение

\( \frac{\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2}. \)

Упростить выражение:

\( \frac{\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2} = \)

\( = \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} — y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}} {x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{5}{3}} + x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} + 2x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} — 2x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}} = \)

\( = \frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{3}}(y + x)}{2x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{5}{3}} + 2x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}(y + x)} = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{2y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2y}; \)

Ответ: \( \frac{1}{2y}. \)

Задана задача: Упростите выражение:

\( \frac{\left(x^{\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2} \)

Шаг 1: Разбиваем числитель и знаменатель.

Числитель: \( \left(x^{\frac{1}{3}} + y^{-\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right) \)

Раскроем скобки:

\( = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} +\)

\( y^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} + y^{-\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} — y^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} \)

Упростим выражение:

\( = x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} \)

Теперь заменим по степени:

\( = x^{1} + x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{-\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}} — x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} \)

Шаг 2: Теперь разберемся с знаменателем.

Знаменатель: \( \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} — x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 \)

Раскроем квадрат:

\( = \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} \right)^2 + 2 \cdot x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + \left(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 +\)

\( \left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}\right)^2 — 2 \cdot x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + \left(x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2 \)

Сложим похожие термины и упростим выражение.

\( = 2 \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} \right)^2 + 2 \cdot x^{-\frac{1}{6}} y^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} \)

Шаг 3: После упрощения и расчета получаем:

\( \frac{x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}} (y + x)}{2x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{5}{3}} + 2x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}} (y + x)} \)

Шаг 4: Упростим дальше:

\( \frac{y^{\frac{1}{3}}}{2y^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2y} \)

Ответ: \( \frac{1}{2y} \).