ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1352 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = f(x) \) и опишите её свойства, если:

а) \( f(x) = \frac{1}{2} \tan x; \)

б) \( f(x) = -\cot x. \)

Построить график функции:

а) \( f(x) = \frac{1}{2} \tan x; \)

График данной функции:

Свойства функции:

\( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\}, \quad E(y) = (-\infty; +\infty); \)

Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)

\( y(x) > 0, \quad \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

\( y(x) < 0, \quad -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n; \)

Функция является нечётной;

Возрастает на \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Функция периодическая: \( T = \pi; \)

Унаи́в — нет, Уни́м — нет;

Не является обратимой;

б) \( f(x) = -\cot x; \)

График данной функции:

Свойства функции:

\( D(x) \neq \left\{ \pi n \right\}, \quad E(y) = (-\infty; +\infty); \)

Нули функции: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)

\( y(x) > 0, \quad \frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n; \)

\( y(x) < 0, \quad \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Функция является нечётной;

Убывает на \( \pi n < x < \pi + \pi n; \)

Функция периодическая: \( T = \pi; \)

Унаи́в — нет, Уни́м — нет;

Не является обратимой;

Задана задача: Построить график функции \( y = f(x) \) и описать её свойства, если:

а) \( f(x) = \frac{1}{2} \tan x; \)

1. График функции \( y = \frac{1}{2} \tan x \) является графиком стандартной функции \( y = \tan x \), сжатым в два раза вдоль оси ординат. Это означает, что амплитуда графика функции \( \tan x \) уменьшится в 2 раза, но форма графика и расположение асимптот останутся такими же.

2. Для того чтобы описать свойства функции, рассмотрим следующие моменты:

Область определения: Функция \( \tan x \) не определена в точках \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \), потому что в этих точках у функции есть вертикальные асимптоты. Для функции \( y = \frac{1}{2} \tan x \) ситуация не меняется. То есть область определения функции: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\}, \quad n \in \mathbb{Z} \).

Область значений: Поскольку функция \( \tan x \) принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \), и функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) просто сжимает график вдоль оси ординат, область значений функции остаётся: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: Функция \( \tan x = 0 \) при \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \). Поскольку \( y = \frac{1}{2} \tan x \) просто умножает значения функции на \( \frac{1}{2} \), её нули будут такими же: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \).

Знак функции: Функция \( \tan x \) положительна на промежутке \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \) и отрицательна на промежутке \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n \). Поскольку функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) просто сжимает график, её знак будет аналогичен знаку \( \tan x \): \( y(x) > 0 \) на \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( y(x) < 0 \) на \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n \).

Четность функции: Функция \( \tan x \) является нечётной, то есть \( \tan(-x) = -\tan(x) \). Поскольку функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) является просто линейной комбинацией функции \( \tan x \), то и она будет нечётной: \( y(-x) = -y(x) \).

Монотонность: Функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) возрастает на промежутке \( -\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \), так как \( \tan x \) возрастает на этом промежутке.

Периодичность: Период функции \( \tan x \) равен \( \pi \), следовательно, период функции \( y = \frac{1}{2} \tan x \) также равен \( \pi \), так как сжатие графика вдоль оси ординат не меняет период.

Инъективность и обратимость: Функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) не является инъективной (она не проходит вертикальный тест), следовательно, она не является обратимой.

Ответ: Функция \( y = \frac{1}{2} \tan x \) является нечётной, периодической с периодом \( \pi \), её область определения: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\} \), и область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

б) \( y = -\cot x; \)

1. График функции \( y = -\cot x \) — это график функции \( \cot x \), отражённый относительно оси абсцисс. В результате отражения график будет иметь те же вертикальные асимптоты, но будет убывать вместо того, чтобы возрастать.

2. Свойства функции:

Область определения: Функция \( \cot x \) не определена в точках \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \), потому что в этих точках функции есть вертикальные асимптоты. Поскольку \( y = -\cot x \) — это отражение функции \( \cot x \), то область определения остаётся такой же: \( D(x) \neq \left\{ \pi n \right\}, \, n \in \mathbb{Z} \).

Область значений: Так как \( \cot x \) принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \), и функция \( y = -\cot x \) просто меняет знак, то её область значений будет такой же: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).

Нули функции: Функция \( \cot x = 0 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \). Поскольку \( y = -\cot x \) — это просто отражение функции \( \cot x \), её нули будут такими же: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \).

Знак функции: Функция \( \cot x \) положительна на промежутке \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) и отрицательна на промежутке \( \frac{\pi}{2} < x < \pi \). Поскольку функция \( y = -\cot x \) просто отражает график, её знак будет противоположен знаку \( \cot x \): \( y(x) > 0 \) на \( \frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n \) и \( y(x) < 0 \) на \( \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Четность функции: Функция \( \cot x \) является нечётной, то есть \( \cot(-x) = -\cot(x) \). Поскольку функция \( y = -\cot x \) просто является отражением функции \( \cot x \), она также будет нечётной: \( y(-x) = -y(x) \).

Монотонность: Функция \( y = -\cot x \) убывает на промежутке \( \pi n < x < \pi + \pi n \), так как \( \cot x \) убывает на этом промежутке.

Периодичность: Период функции \( \cot x \) равен \( \pi \), следовательно, период функции \( y = -\cot x \) также равен \( \pi \), так как отражение не меняет период.

Инъективность и обратимость: Функция \( y = -\cot x \) не является инъективной (она не проходит вертикальный тест), следовательно, она не является обратимой.

Ответ: Функция \( y = -\cot x \) является нечётной, периодической с периодом \( \pi \), её область определения: \( D(x) \neq \left\{ \pi n \right\} \), и область значений: \( E(y) = (-\infty; +\infty) \).