ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1349 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли периодической функция:

а) \( y = \tan(\sin x); \)

б) \( y = \sin(\tan x)? \)

Какова область её определения?

Периодична ли функция:

а) \( y = \tan(\sin x); \)

\( y(x + T) = y(x); \)

\( \tan(\sin(x + T)) = \tan(\sin x); \)

\( \tan(\sin(x + 2\pi)) = \tan(\sin x); \)

Область определения:

\( \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

\( -\frac{\pi}{2} < \sin x < \frac{\pi}{2}; \)

\( \sin x \in \mathbb{R}, \quad x \in \mathbb{R}; \)

Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty). \)

б) \( y = \sin(\tan x); \)

\( y(x + T) = y(x); \)

\( \sin(\tan(x + T)) = \sin(\tan x); \)

\( \sin(\tan(x + \pi)) = \sin(\tan x); \)

Область определения:

\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Ответ: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\}. \)

Задана задача: Является ли функция периодической?

а) \( y = \tan(\sin x); \)

1. Рассмотрим функцию \( y = \tan(\sin x) \). Мы должны проверить, является ли она периодической. Для этого рассмотрим, как она ведет себя при смещении на период \( T \). Мы хотим, чтобы выполнялось \( y(x + T) = y(x) \). То есть:

\( \tan(\sin(x + T)) = \tan(\sin x) \)

2. Мы знаем, что \( \sin(x + T) = \sin x \) для \( T = 2\pi \), так как синус имеет период \( 2\pi \). Следовательно, для функции \( y = \tan(\sin x) \) выполняется:

\( \tan(\sin(x + 2\pi)) = \tan(\sin x) \)

3. Таким образом, функция \( y = \tan(\sin x) \) является периодической с периодом \( 2\pi \).

4. Теперь определим область определения этой функции. Для того, чтобы \( \tan(\sin x) \) было определено, необходимо, чтобы значение \( \sin x \) не равно \( \frac{\pi}{2} + \pi n \), так как тангенс не определен для значений \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). То есть:

\( \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \)

5. Поскольку \( \sin x \) принимает значения в интервале \( \left[-1, 1\right] \), то мы можем ограничиться диапазоном \( -\frac{\pi}{2} < \sin x < \frac{\pi}{2} \), что обеспечивает корректное определение функции \( \tan(\sin x) \).

Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), функция периодична с периодом \( 2\pi \).

б) \( y = \sin(\tan x); \)

1. Рассмотрим функцию \( y = \sin(\tan x) \). Мы снова проверяем периодичность функции. Для этого рассмотрим, как она ведет себя при смещении на период \( T \). Мы хотим, чтобы выполнялось \( y(x + T) = y(x) \). То есть:

\( \sin(\tan(x + T)) = \sin(\tan x) \)

2. Мы знаем, что \( \tan(x + T) = \tan x \) для \( T = \pi \), так как тангенс имеет период \( \pi \). Следовательно, для функции \( y = \sin(\tan x) \) выполняется:

\( \sin(\tan(x + \pi)) = \sin(\tan x) \)

3. Таким образом, функция \( y = \sin(\tan x) \) является периодической с периодом \( \pi \).

4. Теперь определим область определения этой функции. Для того, чтобы \( \tan x \) было определено, необходимо, чтобы \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \), так как тангенс не определен для значений \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). Таким образом, область определения функции \( y = \sin(\tan x) \) будет:

\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \)

Ответ: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\} \), функция периодична с периодом \( \pi \).