Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1349 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли периодической функция:
а) \( y = \tan(\sin x); \)
б) \( y = \sin(\tan x)? \)
Какова область её определения?
Периодична ли функция:
а) \( y = \tan(\sin x); \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( \tan(\sin(x + T)) = \tan(\sin x); \)
\( \tan(\sin(x + 2\pi)) = \tan(\sin x); \)
Область определения:
\( \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
\( -\frac{\pi}{2} < \sin x < \frac{\pi}{2}; \)
\( \sin x \in \mathbb{R}, \quad x \in \mathbb{R}; \)
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty). \)
б) \( y = \sin(\tan x); \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( \sin(\tan(x + T)) = \sin(\tan x); \)
\( \sin(\tan(x + \pi)) = \sin(\tan x); \)
Область определения:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)
Ответ: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\}. \)
Задана задача: Является ли функция периодической?
а) \( y = \tan(\sin x); \)
1. Рассмотрим функцию \( y = \tan(\sin x) \). Мы должны проверить, является ли она периодической. Для этого рассмотрим, как она ведет себя при смещении на период \( T \). Мы хотим, чтобы выполнялось \( y(x + T) = y(x) \). То есть:
\( \tan(\sin(x + T)) = \tan(\sin x) \)
2. Мы знаем, что \( \sin(x + T) = \sin x \) для \( T = 2\pi \), так как синус имеет период \( 2\pi \). Следовательно, для функции \( y = \tan(\sin x) \) выполняется:
\( \tan(\sin(x + 2\pi)) = \tan(\sin x) \)
3. Таким образом, функция \( y = \tan(\sin x) \) является периодической с периодом \( 2\pi \).
4. Теперь определим область определения этой функции. Для того, чтобы \( \tan(\sin x) \) было определено, необходимо, чтобы значение \( \sin x \) не равно \( \frac{\pi}{2} + \pi n \), так как тангенс не определен для значений \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). То есть:
\( \sin x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \)
5. Поскольку \( \sin x \) принимает значения в интервале \( \left[-1, 1\right] \), то мы можем ограничиться диапазоном \( -\frac{\pi}{2} < \sin x < \frac{\pi}{2} \), что обеспечивает корректное определение функции \( \tan(\sin x) \).
Ответ: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), функция периодична с периодом \( 2\pi \).
б) \( y = \sin(\tan x); \)
1. Рассмотрим функцию \( y = \sin(\tan x) \). Мы снова проверяем периодичность функции. Для этого рассмотрим, как она ведет себя при смещении на период \( T \). Мы хотим, чтобы выполнялось \( y(x + T) = y(x) \). То есть:
\( \sin(\tan(x + T)) = \sin(\tan x) \)
2. Мы знаем, что \( \tan(x + T) = \tan x \) для \( T = \pi \), так как тангенс имеет период \( \pi \). Следовательно, для функции \( y = \sin(\tan x) \) выполняется:
\( \sin(\tan(x + \pi)) = \sin(\tan x) \)
3. Таким образом, функция \( y = \sin(\tan x) \) является периодической с периодом \( \pi \).
4. Теперь определим область определения этой функции. Для того, чтобы \( \tan x \) было определено, необходимо, чтобы \( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \), так как тангенс не определен для значений \( \frac{\pi}{2} + \pi n \). Таким образом, область определения функции \( y = \sin(\tan x) \) будет:
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \)
Ответ: \( D(x) \neq \left\{ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\} \), функция периодична с периодом \( \pi \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.