ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1348 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите основной период функции:

а) \( y = \sin x + \tan x; \)

в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)

б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)

г) \( y = \sin 4x \tan 5x. \)

Найти основной период:

а) \( y = \sin x + \tan x; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)

\( \frac{3}{5}T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{10\pi}{3}; \)

\( \frac{3}{4}T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{8\pi}{3}; \)

\( \frac{10\pi}{3} \cdot n = \frac{8\pi}{3} \cdot k; \)

\( 10n = 8k, \quad n = \frac{4}{5}k; \)

\( k = 5, \quad T = \frac{40\pi}{3}; \)

Ответ: \( \frac{40\pi}{3}. \)

в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)

\( \frac{1}{2}T_1 = 2\pi, \quad T_1 = 4\pi; \)

\( \frac{1}{3}T_2 = \pi, \quad T_2 = 3\pi; \)

\( 4\pi \cdot n = 3\pi \cdot k; \)

\( 4n = 3k, \quad n = \frac{3}{4}k; \)

\( k = 4, \quad T = 12\pi; \)

Ответ: \( 12\pi. \)

г) \( y = \sin 4x \tan 5x; \)

\( 4T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{\pi}{2}; \)

\( 5T_2 = \pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{5}; \)

\( \frac{\pi}{2} \cdot n = \frac{\pi}{5} \cdot k; \)

\( n = \frac{k}{5}, \quad n = \frac{2k}{5}; \)

\( k = 5, \quad T = \pi; \)

Ответ: \( \pi. \)

Задана задача: Найдите основной период функции:

а) \( y = \sin x + \tan x; \)

1. Рассмотрим функции \( \sin x \) и \( \tan x \). Мы знаем, что период функции \( \sin x \) равен \( 2\pi \), а период функции \( \tan x \) равен \( \pi \).

2. Период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному периодов этих функций. Таким образом, основной период равен \( \text{LCM}(2\pi, \pi) = 2\pi \).

Ответ: \( 2\pi \).

б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)

1. Рассмотрим функцию \( \cos \frac{3}{5}x \). Период этой функции можно найти по формуле \( T = \frac{2\pi}{k} \), где \( k \) — коэффициент при \( x \). Для этой функции \( k = \frac{3}{5} \), следовательно, период будет:

\( T_1 = \frac{2\pi}{\frac{3}{5}} = \frac{10\pi}{3} \)

2. Рассмотрим функцию \( \sin \frac{3}{4}x \). Для неё аналогично вычислим период, где \( k = \frac{3}{4} \), следовательно, период будет:

\( T_2 = \frac{2\pi}{\frac{3}{4}} = \frac{8\pi}{3} \)

3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Для этого решим уравнение:

\( \frac{10\pi}{3} \cdot n = \frac{8\pi}{3} \cdot k \)

4. Упростим это уравнение:

\( 10n = 8k \), откуда \( n = \frac{4}{5}k \). Мы видим, что \( k = 5 \), и тогда основной период будет:

\( T = \frac{40\pi}{3} \)

Ответ: \( \frac{40\pi}{3} \).

в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)

1. Рассмотрим функцию \( \cos \frac{1}{2}x \). Период этой функции можно найти по формуле \( T_1 = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \).

2. Рассмотрим функцию \( \cot \frac{1}{3}x \). Для неё период будет равен:

\( T_2 = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi \)

3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Решаем уравнение:

\( 4\pi \cdot n = 3\pi \cdot k \)

4. Упростим это уравнение:

\( 4n = 3k \), откуда \( n = \frac{3}{4}k \). Мы видим, что \( k = 4 \), и основной период будет:

\( T = 12\pi \)

Ответ: \( 12\pi \).

г) \( y = \sin 4x \tan 5x; \)

1. Рассмотрим функцию \( \sin 4x \). Период этой функции равен:

\( T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)

2. Рассмотрим функцию \( \tan 5x \). Период этой функции равен:

\( T_2 = \frac{\pi}{5} \)

3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Решаем уравнение:

\( \frac{\pi}{2} \cdot n = \frac{\pi}{5} \cdot k \)

4. Упростим это уравнение:

\( n = \frac{k}{5}, \quad n = \frac{2k}{5} \)

5. Мы видим, что \( k = 5 \), и основной период будет:

\( T = \pi \)

Ответ: \( \pi \).