Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1348 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите основной период функции:
а) \( y = \sin x + \tan x; \)
в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)
б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)
г) \( y = \sin 4x \tan 5x. \)
Найти основной период:
а) \( y = \sin x + \tan x; \)
\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \pi; \)
Ответ: \( 2\pi. \)
б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)
\( \frac{3}{5}T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{10\pi}{3}; \)
\( \frac{3}{4}T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{8\pi}{3}; \)
\( \frac{10\pi}{3} \cdot n = \frac{8\pi}{3} \cdot k; \)
\( 10n = 8k, \quad n = \frac{4}{5}k; \)
\( k = 5, \quad T = \frac{40\pi}{3}; \)
Ответ: \( \frac{40\pi}{3}. \)
в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)
\( \frac{1}{2}T_1 = 2\pi, \quad T_1 = 4\pi; \)
\( \frac{1}{3}T_2 = \pi, \quad T_2 = 3\pi; \)
\( 4\pi \cdot n = 3\pi \cdot k; \)
\( 4n = 3k, \quad n = \frac{3}{4}k; \)
\( k = 4, \quad T = 12\pi; \)
Ответ: \( 12\pi. \)
г) \( y = \sin 4x \tan 5x; \)
\( 4T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{\pi}{2}; \)
\( 5T_2 = \pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{5}; \)
\( \frac{\pi}{2} \cdot n = \frac{\pi}{5} \cdot k; \)
\( n = \frac{k}{5}, \quad n = \frac{2k}{5}; \)
\( k = 5, \quad T = \pi; \)
Ответ: \( \pi. \)
Задана задача: Найдите основной период функции:
а) \( y = \sin x + \tan x; \)
1. Рассмотрим функции \( \sin x \) и \( \tan x \). Мы знаем, что период функции \( \sin x \) равен \( 2\pi \), а период функции \( \tan x \) равен \( \pi \).
2. Период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному периодов этих функций. Таким образом, основной период равен \( \text{LCM}(2\pi, \pi) = 2\pi \).
Ответ: \( 2\pi \).
б) \( y = \cos \frac{3}{5}x + \sin \frac{3}{4}x; \)
1. Рассмотрим функцию \( \cos \frac{3}{5}x \). Период этой функции можно найти по формуле \( T = \frac{2\pi}{k} \), где \( k \) — коэффициент при \( x \). Для этой функции \( k = \frac{3}{5} \), следовательно, период будет:
\( T_1 = \frac{2\pi}{\frac{3}{5}} = \frac{10\pi}{3} \)
2. Рассмотрим функцию \( \sin \frac{3}{4}x \). Для неё аналогично вычислим период, где \( k = \frac{3}{4} \), следовательно, период будет:
\( T_2 = \frac{2\pi}{\frac{3}{4}} = \frac{8\pi}{3} \)
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Для этого решим уравнение:
\( \frac{10\pi}{3} \cdot n = \frac{8\pi}{3} \cdot k \)
4. Упростим это уравнение:
\( 10n = 8k \), откуда \( n = \frac{4}{5}k \). Мы видим, что \( k = 5 \), и тогда основной период будет:
\( T = \frac{40\pi}{3} \)
Ответ: \( \frac{40\pi}{3} \).
в) \( y = \cos \frac{1}{2}x \cot \frac{1}{3}x; \)
1. Рассмотрим функцию \( \cos \frac{1}{2}x \). Период этой функции можно найти по формуле \( T_1 = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \).
2. Рассмотрим функцию \( \cot \frac{1}{3}x \). Для неё период будет равен:
\( T_2 = \frac{\pi}{\frac{1}{3}} = 3\pi \)
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Решаем уравнение:
\( 4\pi \cdot n = 3\pi \cdot k \)
4. Упростим это уравнение:
\( 4n = 3k \), откуда \( n = \frac{3}{4}k \). Мы видим, что \( k = 4 \), и основной период будет:
\( T = 12\pi \)
Ответ: \( 12\pi \).
г) \( y = \sin 4x \tan 5x; \)
1. Рассмотрим функцию \( \sin 4x \). Период этой функции равен:
\( T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)
2. Рассмотрим функцию \( \tan 5x \). Период этой функции равен:
\( T_2 = \frac{\pi}{5} \)
3. Теперь найдем наименьшее общее кратное этих периодов. Решаем уравнение:
\( \frac{\pi}{2} \cdot n = \frac{\pi}{5} \cdot k \)
4. Упростим это уравнение:
\( n = \frac{k}{5}, \quad n = \frac{2k}{5} \)
5. Мы видим, что \( k = 5 \), и основной период будет:
\( T = \pi \)
Ответ: \( \pi \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.