ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1342 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) \( y = 1 + |\tan x|; \)

в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)

г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}. \)

Найти область значений:

а) \( y = 1 + |\tan x|; \)

\( |\tan x| \geq 0; \)

\( 1 + |\tan x| \geq 1; \)

Ответ: \( E(y) = [1; +\infty). \)

б) \( y = 1 — |\cot x|; \)

\( |\cot x| \geq 0; \)

\( 1 — |\cot x| \leq 1; \)

Ответ: \( E(y) = (-\infty; 1]. \)

в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)

\( \sqrt{-\tan x} \geq 0; \)

Ответ: \( E(y) = [0; +\infty). \)

г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}; \)

\( \sqrt{\cot(-x)} \geq 0; \)

Ответ: \( E(y) = [0; +\infty). \)

Найдите область значений функции:

а) \( y = 1 + |\tan x|; \)

Модуль тангенса определён при всех \( x \), кроме точек, где \( \tan x \) не определён (то есть где \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \)).

Так как \( |\tan x| \geq 0 \) для всех допустимых \( x \), выражение \( 1 + |\tan x| \) всегда не меньше 1:

\( 1 + |\tan x| \geq 1 \). Это значение достигается, когда \( \tan x = 0 \), например, при \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \)

По мере увеличения \( |\tan x| \) (то есть при приближении \( x \) к точкам разрыва), \( y \) может принимать сколь угодно большие значения.

Значит, функция может принимать все значения от 1 до плюс бесконечности включительно.

Ответ: \( E(y) = [1; +\infty) \).

б) \( y = 1 — |\cot x|; \)

Функция \( |\cot x| \) определена при всех \( x \), кроме точек, где \( \sin x = 0 \), то есть \( x = \pi n,\, n \in \mathbb{Z} \). При этом \( |\cot x| \geq 0 \).

Максимальное значение функции будет при \( |\cot x| = 0 \), то есть когда \( \cot x = 0 \). Это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), тогда \( y = 1 \).

При увеличении модуля \( \cot x \) (например, когда \( x \) приближается к 0, \( \pi \) и т.д.), значение функции уходит к минус бесконечности: \( y = 1 — |\cot x| \to -\infty \).

Следовательно, область значений — все числа, не превышающие 1.

Ответ: \( E(y) = (-\infty; 1] \).

в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть \( -\tan x \geq 0 \), откуда \( \tan x \leq 0 \).

Таким образом, функция определена только там, где тангенс отрицателен или равен нулю. На этом промежутке \( -\tan x \) принимает значения от 0 до плюс бесконечности, соответственно, корень — от 0 до плюс бесконечности.

Минимальное значение \( y = 0 \), оно достигается при \( \tan x = 0 \) (например, \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \)). По мере уменьшения \( \tan x \), \( -\tan x \) увеличивается и \( y \) может быть сколь угодно большим.

Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).

г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}; \)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \( \cot(-x) \geq 0 \). Заметим, что \( \cot(-x) = -\cot x \).

То есть функция определена при \( -\cot x \geq 0 \), или \( \cot x \leq 0 \). Там, где \( \cot x \leq 0 \), \( \sqrt{\cot(-x)} \) принимает значения от 0 до плюс бесконечности.

Минимальное значение \( y = 0 \), при \( \cot(-x) = 0 \), что достигается при \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \). При больших по модулю отрицательных значениях \( \cot x \), значение \( \cot(-x) \) становится большим положительным, а значит и корень также может быть сколь угодно большим.

Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).