Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1342 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите область значений функции:
а) \( y = 1 + |\tan x|; \)
в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)
г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}. \)
Найти область значений:
а) \( y = 1 + |\tan x|; \)
\( |\tan x| \geq 0; \)
\( 1 + |\tan x| \geq 1; \)
Ответ: \( E(y) = [1; +\infty). \)
б) \( y = 1 — |\cot x|; \)
\( |\cot x| \geq 0; \)
\( 1 — |\cot x| \leq 1; \)
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 1]. \)
в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)
\( \sqrt{-\tan x} \geq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty). \)
г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}; \)
\( \sqrt{\cot(-x)} \geq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty). \)
Найдите область значений функции:
а) \( y = 1 + |\tan x|; \)
Модуль тангенса определён при всех \( x \), кроме точек, где \( \tan x \) не определён (то есть где \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \)).
Так как \( |\tan x| \geq 0 \) для всех допустимых \( x \), выражение \( 1 + |\tan x| \) всегда не меньше 1:
\( 1 + |\tan x| \geq 1 \). Это значение достигается, когда \( \tan x = 0 \), например, при \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \)
По мере увеличения \( |\tan x| \) (то есть при приближении \( x \) к точкам разрыва), \( y \) может принимать сколь угодно большие значения.
Значит, функция может принимать все значения от 1 до плюс бесконечности включительно.
Ответ: \( E(y) = [1; +\infty) \).
б) \( y = 1 — |\cot x|; \)
Функция \( |\cot x| \) определена при всех \( x \), кроме точек, где \( \sin x = 0 \), то есть \( x = \pi n,\, n \in \mathbb{Z} \). При этом \( |\cot x| \geq 0 \).
Максимальное значение функции будет при \( |\cot x| = 0 \), то есть когда \( \cot x = 0 \). Это происходит при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), тогда \( y = 1 \).
При увеличении модуля \( \cot x \) (например, когда \( x \) приближается к 0, \( \pi \) и т.д.), значение функции уходит к минус бесконечности: \( y = 1 — |\cot x| \to -\infty \).
Следовательно, область значений — все числа, не превышающие 1.
Ответ: \( E(y) = (-\infty; 1] \).
в) \( y = \sqrt{-\tan x}; \)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть \( -\tan x \geq 0 \), откуда \( \tan x \leq 0 \).
Таким образом, функция определена только там, где тангенс отрицателен или равен нулю. На этом промежутке \( -\tan x \) принимает значения от 0 до плюс бесконечности, соответственно, корень — от 0 до плюс бесконечности.
Минимальное значение \( y = 0 \), оно достигается при \( \tan x = 0 \) (например, \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \)). По мере уменьшения \( \tan x \), \( -\tan x \) увеличивается и \( y \) может быть сколь угодно большим.
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).
г) \( y = \sqrt{\cot(-x)}; \)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \( \cot(-x) \geq 0 \). Заметим, что \( \cot(-x) = -\cot x \).
То есть функция определена при \( -\cot x \geq 0 \), или \( \cot x \leq 0 \). Там, где \( \cot x \leq 0 \), \( \sqrt{\cot(-x)} \) принимает значения от 0 до плюс бесконечности.
Минимальное значение \( y = 0 \), при \( \cot(-x) = 0 \), что достигается при \( x = 0, \pi, 2\pi, \ldots \). При больших по модулю отрицательных значениях \( \cot x \), значение \( \cot(-x) \) становится большим положительным, а значит и корень также может быть сколь угодно большим.
Ответ: \( E(y) = [0; +\infty) \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.