Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1339 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Представьте в виде дроби с рациональным знаменателем выражение:
а) \( \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4}}; \)
б) \( \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}. \)
Представить в виде рациональной дроби:
а) \( \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4}} = \frac{5\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^4} — \sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[3]{16})}{(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[3]{4})} = \)
\( = \frac{5x^2 — 5x^3\sqrt[3]{4} + 10\sqrt[3]{2}x^2}{x^2 + 4}; \)
б) \( \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{2\sqrt{xy}(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})} = \)
\( = \frac{2x^6\sqrt{xy^3} — 2\sqrt[6]{x^5y^5} + 2y^6\sqrt{x^3y}}{x + y}; \)
Рассмотрим задачу на представление выражений в виде дроби с рациональным знаменателем. Мы представим выражения и проделаем необходимые преобразования для получения дроби с рациональным знаменателем.
а) \( \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4}}; \)
1. Для того чтобы избавиться от иррационального знаменателя, мы умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Сопряженное выражение для знаменателя будет \( \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4} \), так как при умножении на сопряженное выражение получится рациональный знаменатель.
2. Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4} \):
\[
\frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4}} =\]
\[\frac{5\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^4} — \sqrt[3]{4x^2} + \sqrt[3]{16})}{(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{4})}.
\]
3. В знаменателе используем формулу разности квадратов:
\[
(\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{x^2} -\]
\[\sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{x^2})^2 — (\sqrt[3]{4})^2 = x^2 — 4.
\]
4. Теперь у нас есть рационализированный знаменатель. Преобразуем числитель:
\[
5\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^4} — \sqrt[3]{4x^2} +\]
\[ \sqrt[3]{16}) = 5x^2 — 5x^3\sqrt[3]{4} + 10\sqrt[3]{2}x^2.
\]
5. Следовательно, результат будет:
\[
\frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{4}} =\]
\[\frac{5x^2 — 5x^3\sqrt[3]{4} + 10\sqrt[3]{2}x^2}{x^2 + 4}.
\]
б) \( \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}; \)
1. Для этого выражения также умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Сопряженное выражение для знаменателя будет \( \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} \).
2. Умножаем числитель и знаменатель на это сопряженное выражение:
\[
\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}} =\]
\[\frac{2\sqrt{xy}(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})}{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2})}.
\]
3. Теперь необходимо преобразовать числитель и знаменатель:
\[
2\sqrt{xy}(\sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}) = 2x^6\sqrt{xy^3} -\]
\[2\sqrt[6]{x^5y^5} + 2y^6\sqrt{x^3y}.
\]
Ответ: \( \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{2x^6\sqrt{xy^3} — 2\sqrt[6]{x^5y^5} + 2y^6\sqrt{x^3y}}{x + y}. \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.