Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1338 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Какова область значений функции:
а) \( y = -1 — \sin(-x); \)
в) \( y = |\sin(-x)| + 1; \)
б) \( y = -1 — \cos(-x); \)
г) \( y = |\cos(-x) — 1|? \)
Найти область значений:
а) \( y = -1 — \sin(-x); \)
\( y = \sin x — 1; \)
\( -1 \leq \sin x \leq 1; \)
\( -2 \leq \sin x — 1 \leq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [-2; 0]. \)
б) \( y = -1 — \cos(-x); \)
\( y = -1 — \cos x; \)
\( -1 \leq -\cos x \leq 1; \)
\( -2 \leq -1 — \cos x \leq 0; \)
Ответ: \( E(y) = [-2; 0]. \)
в) \( y = |\sin(-x)| + 1; \)
\( y = |\sin x| + 1; \)
\( 0 \leq |\sin x| \leq 1; \)
\( 1 \leq |\sin x| + 1 \leq 2; \)
Ответ: \( E(y) = [1; 2]. \)
г) \( y = |\cos(-x) — 1|; \)
\( y = |\cos x — 1|; \)
\( -1 \leq \cos x \leq 1; \)
\( -2 \leq \cos x — 1 \leq 0; \)
\( 0 \leq |\cos x — 1| \leq 2; \)
Ответ: \( E(y) = [0; 2]. \)
Рассмотрим задачу на нахождение области значений для различных функций.
а) \( y = -1 — \sin(-x); \)
1. Мы знаем, что \( \sin(-x) = -\sin x \), следовательно, выражение \( y = -1 — \sin(-x) \) можно переписать как:
\[
y = -1 — (-\sin x) = \sin x — 1.
\]
2. Область значений функции \( \sin x \) ограничена интервалом \( [-1; 1] \), то есть:
\[
-1 \leq \sin x \leq 1.
\]
3. Подставляем это в выражение для \( y \):
\[
-2 \leq \sin x — 1 \leq 0.
\]
Ответ: \( E(y) = [-2; 0]. \)
б) \( y = -1 — \cos(-x); \)
1. Мы знаем, что \( \cos(-x) = \cos x \), следовательно, выражение \( y = -1 — \cos(-x) \) можно переписать как:
\[
y = -1 — \cos x.
\]
2. Область значений функции \( \cos x \) ограничена интервалом \( [-1; 1] \), то есть:
\[
-1 \leq \cos x \leq 1.
\]
3. Подставляем это в выражение для \( y \):
\[
-2 \leq -1 — \cos x \leq 0.
\]
Ответ: \( E(y) = [-2; 0]. \)
в) \( y = |\sin(-x)| + 1; \)
1. Мы знаем, что \( \sin(-x) = -\sin x \), следовательно, выражение \( y = |\sin(-x)| + 1 \) можно переписать как:
\[
y = |\sin x| + 1.
\]
2. Область значений функции \( |\sin x| \) ограничена интервалом \( [0; 1] \), так как модуль синуса всегда положителен или равен нулю. Таким образом:
\[
0 \leq |\sin x| \leq 1.
\]
3. Подставляем это в выражение для \( y \):
\[
1 \leq |\sin x| + 1 \leq 2.
\]
Ответ: \( E(y) = [1; 2]. \)
г) \( y = |\cos(-x) — 1|; \)
1. Мы знаем, что \( \cos(-x) = \cos x \), следовательно, выражение \( y = |\cos(-x) — 1| \) можно переписать как:
\[
y = |\cos x — 1|.
\]
2. Область значений функции \( \cos x \) ограничена интервалом \( [-1; 1] \), то есть:
\[
-1 \leq \cos x \leq 1.
\]
3. Подставляем это в выражение для \( y \):
\[
-2 \leq \cos x — 1 \leq 0.
\]
4. Теперь применяем модуль, который превращает все значения в положительные:
\[
0 \leq |\cos x — 1| \leq 2.
\]
Ответ: \( E(y) = [0; 2]. \)
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.