Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1337 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Постройте график функции \( y = f(x) \) и опишите её свойства, если:
а) \( f(x) = -\sin x; \)
б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right). \)
Построить график функции:
а) \( f(x) = -\sin x; \)
График данной функции:
Свойства функции:
\( D(x) = (-\infty; +\infty), \quad E(y) = [-1; 1]; \)
Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)
\( y(x) > 0, \quad -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n; \)
\( y(x) < 0, \quad 2\pi n < x < \pi + 2\pi n; \)
Функция является нечётной;
Возрастает на \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \)
Убывает на \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
Функция периодическая: \( T = 2\pi; \)
\( y_{\text{найм}} = 1, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
\( y_{\text{наим}} = -1, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
Не является обратимой;
б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right); \)
График данной функции:
Свойства функции:
\( D(x) = (-\infty; +\infty), \quad E(y) = [-1; 1]; \)
Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)
\( y(x) > 0, \quad 2\pi n < x < \pi + 2\pi n; \)
\( y(x) < 0, \quad -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n; \)
Функция является нечётной;
Возрастает на \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
Убывает на \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \)
Функция периодическая: \( T = 2\pi; \)
\( y_{\text{найм}} = 1, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
\( y_{\text{наим}} = -1, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)
Не является обратимой;
Рассмотрим две функции \( f(x) \) и их графики, а также подробное описание их свойств.
а) \( f(x) = -\sin x; \)
1. График функции \( y = -\sin x \) является перевернутым графиком стандартной функции синуса, так как мы умножили исходную функцию \( \sin x \) на \( -1 \). Это приводит к инверсии всех значений функции относительно оси абсцисс.
2. Свойства функции \( y = -\sin x \):
Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как синус определен для всех \( x \);
Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \), так как \( \sin x \) принимает значения в интервале \( [-1; 1] \), и при умножении на \( -1 \) они не изменяются, но инвертируются;
Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \), так как синус обращается в ноль при \( x = \pi n \);
Положительные значения: \( y(x) > 0 \) на промежутке \( -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n \);
Отрицательные значения: \( y(x) < 0 \) на промежутке \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \);
Функция является нечётной: Это означает, что \( f(-x) = -f(x) \), что также характерно для синуса;
Возрастает на интервале: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), так как синус возрастает на интервале \( [0^\circ; 90^\circ] \), а инверсия этого изменения сохраняет его;
Убывает на интервале: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), так как синус убывает на интервале \( [90^\circ; 180^\circ] \), и инверсия этого также убывает;
Функция периодическая: Период равен \( T = 2\pi \), так как синус имеет период \( 2\pi \);
Наибольшее значение: \( y_{\text{max}} = 1 \), которое достигается при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -1 \), которое достигается при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Не является обратимой: Так как функция не является инъективной (она имеет одинаковые значения для разных значений \( x \)).
б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right); \)
1. График функции \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \) представляет собой сдвиг графика косинуса на \( \frac{\pi}{2} \) вправо. Это можно также представить как \( y = \sin x \), поскольку \( \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \) по тригонометрическому тождеству для косинуса и синуса.
2. Свойства функции \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \):
Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как косинус определен для всех \( x \);
Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \), так как \( \sin x \) (и \( \cos x \) соответственно) принимает значения в интервале \( [-1; 1] \);
Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \), так как синус (и косинус) обращается в ноль при \( x = \pi n \);
Положительные значения: \( y(x) > 0 \) на промежутке \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \);
Отрицательные значения: \( y(x) < 0 \) на промежутке \( -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n \);
Функция является нечётной: Это означает, что \( f(-x) = -f(x) \);
Возрастает на интервале: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Убывает на интервале: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \);
Функция периодическая: Период равен \( T = 2\pi \);
Наибольшее значение: \( y_{\text{max}} = 1 \), которое достигается при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -1 \), которое достигается при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \);
Не является обратимой: Как и для синуса, функция не является инъективной.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.