ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1337 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = f(x) \) и опишите её свойства, если:

а) \( f(x) = -\sin x; \)

б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right). \)

Построить график функции:

а) \( f(x) = -\sin x; \)

График данной функции:

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty), \quad E(y) = [-1; 1]; \)

Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)

\( y(x) > 0, \quad -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n; \)

\( y(x) < 0, \quad 2\pi n < x < \pi + 2\pi n; \)

Функция является нечётной;

Возрастает на \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \)

Убывает на \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

Функция периодическая: \( T = 2\pi; \)

\( y_{\text{найм}} = 1, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

\( y_{\text{наим}} = -1, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

Не является обратимой;

б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right); \)

График данной функции:

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty), \quad E(y) = [-1; 1]; \)

Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z}; \)

\( y(x) > 0, \quad 2\pi n < x < \pi + 2\pi n; \)

\( y(x) < 0, \quad -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n; \)

Функция является нечётной;

Возрастает на \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

Убывает на \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n; \)

Функция периодическая: \( T = 2\pi; \)

\( y_{\text{найм}} = 1, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

\( y_{\text{наим}} = -1, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \)

Не является обратимой;

Рассмотрим две функции \( f(x) \) и их графики, а также подробное описание их свойств.

а) \( f(x) = -\sin x; \)

1. График функции \( y = -\sin x \) является перевернутым графиком стандартной функции синуса, так как мы умножили исходную функцию \( \sin x \) на \( -1 \). Это приводит к инверсии всех значений функции относительно оси абсцисс.

2. Свойства функции \( y = -\sin x \):

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как синус определен для всех \( x \);

Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \), так как \( \sin x \) принимает значения в интервале \( [-1; 1] \), и при умножении на \( -1 \) они не изменяются, но инвертируются;

Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \), так как синус обращается в ноль при \( x = \pi n \);

Положительные значения: \( y(x) > 0 \) на промежутке \( -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n \);

Отрицательные значения: \( y(x) < 0 \) на промежутке \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \);

Функция является нечётной: Это означает, что \( f(-x) = -f(x) \), что также характерно для синуса;

Возрастает на интервале: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), так как синус возрастает на интервале \( [0^\circ; 90^\circ] \), а инверсия этого изменения сохраняет его;

Убывает на интервале: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), так как синус убывает на интервале \( [90^\circ; 180^\circ] \), и инверсия этого также убывает;

Функция периодическая: Период равен \( T = 2\pi \), так как синус имеет период \( 2\pi \);

Наибольшее значение: \( y_{\text{max}} = 1 \), которое достигается при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);

Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -1 \), которое достигается при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \);

Не является обратимой: Так как функция не является инъективной (она имеет одинаковые значения для разных значений \( x \)).

б) \( f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right); \)

1. График функции \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \) представляет собой сдвиг графика косинуса на \( \frac{\pi}{2} \) вправо. Это можно также представить как \( y = \sin x \), поскольку \( \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \) по тригонометрическому тождеству для косинуса и синуса.

2. Свойства функции \( y = \cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) \):

Область определения: \( D(x) = (-\infty; +\infty) \), так как косинус определен для всех \( x \);

Область значений: \( E(y) = [-1; 1] \), так как \( \sin x \) (и \( \cos x \) соответственно) принимает значения в интервале \( [-1; 1] \);

Нули функции: \( x = \pi n, \, n \in \mathbb{Z} \), так как синус (и косинус) обращается в ноль при \( x = \pi n \);

Положительные значения: \( y(x) > 0 \) на промежутке \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n \);

Отрицательные значения: \( y(x) < 0 \) на промежутке \( -\pi + 2\pi n < x < 2\pi n \);

Функция является нечётной: Это означает, что \( f(-x) = -f(x) \);

Возрастает на интервале: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);

Убывает на интервале: \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \);

Функция периодическая: Период равен \( T = 2\pi \);

Наибольшее значение: \( y_{\text{max}} = 1 \), которое достигается при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \);

Наименьшее значение: \( y_{\text{min}} = -1 \), которое достигается при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \);

Не является обратимой: Как и для синуса, функция не является инъективной.