Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1336 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Какие преобразования надо выполнить, чтобы из графика функции \( y = \cos x \) получить график функции:
а) \( y = -\cos x; \)
в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)
б) \( y = \cos(-x); \)
г) \( y = -2 \cos(x — 2)? \)
Как построить график функции:
а) \( y = -\cos x; \)
Построим график функции \( y = \cos x; \)
Отразим его относительно оси абсцисс;
б) \( y = \cos(-x); \)
Построим график функции \( y = \cos x; \)
Отразим его относительно оси ординат;
в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)
Построим график функции \( y = \cos x; \)
Переместим его на две единицы влево;
Сожмем его в 2 раза вдоль оси ординат;
г) \( y = -2 \cos(x — 2); \)
Построим график функции \( y = \cos x; \)
Переместим его на две единицы вправо;
Отразим его относительно оси абсцисс;
Растянем его в 2 раза вдоль оси ординат;
Рассмотрим задачу на нахождение преобразований графиков функций для получения новых функций из исходной \( y = \cos x \).
а) \( y = -\cos x; \)
1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду, начиная с максимума при \( x = 0 \), с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.
2. Для того чтобы получить график функции \( y = -\cos x \), нужно отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси абсцисс. Это приведет к инверсии всех значений функции (положительные значения становятся отрицательными и наоборот), но период и форма графика остаются неизменными.
Ответ: отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси абсцисс.
б) \( y = \cos(-x); \)
1. Построим график функции \( y = \cos x \).
2. Чтобы получить график функции \( y = \cos(-x) \), нужно отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси ординат. Это связано с тем, что \( \cos(-x) = \cos x \), и отражение не изменит график, так как косинус — четная функция. Таким образом, график функции \( y = \cos(-x) \) будет идентичен графику функции \( y = \cos x \), и никаких изменений не требуется.
Ответ: отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси ординат (или заметить, что функция остается неизменной, так как косинус четная функция).
в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)
1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.
2. Для того чтобы получить график функции \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2) \), нужно выполнить два преобразования:
3. Переместить график на 2 единицы влево. Это осуществляется сдвигом графика функции по оси \( x \) на \( 2 \) единицы влево, то есть для каждого значения \( x \) заменяем его на \( x + 2 \).
4. Сжать график вдоль оси ординат в 2 раза. Это делается путем умножения функции на \( \frac{1}{2} \), что приводит к уменьшению амплитуды графика функции в 2 раза (максимальное значение функции теперь будет равно \( \frac{1}{2} \), а минимальное \( -\frac{1}{2} \)).
Ответ: переместить график на 2 единицы влево и сжать его вдоль оси ординат в 2 раза.
г) \( y = -2 \cos(x — 2); \)
1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.
2. Для того чтобы получить график функции \( y = -2 \cos(x — 2) \), нужно выполнить следующие преобразования:
3. Переместить график на 2 единицы вправо. Это сдвигает график функции по оси \( x \) на \( 2 \) единицы вправо, заменив \( x \) на \( x — 2 \).
4. Отразить график относительно оси абсцисс. Это делается умножением на \( -1 \), что инвертирует все значения функции, то есть положительные значения станут отрицательными и наоборот.
5. Растянуть график вдоль оси ординат в 2 раза. Это выполняется умножением функции на \( -2 \), что увеличивает амплитуду функции в 2 раза (максимум будет равен \( 2 \), минимум \( -2 \)).
Ответ: переместить график на 2 единицы вправо, отразить его относительно оси абсцисс и растянуть вдоль оси ординат в 2 раза.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.