ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1336 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Какие преобразования надо выполнить, чтобы из графика функции \( y = \cos x \) получить график функции:

а) \( y = -\cos x; \)

в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)

б) \( y = \cos(-x); \)

г) \( y = -2 \cos(x — 2)? \)

Как построить график функции:

а) \( y = -\cos x; \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Отразим его относительно оси абсцисс;

б) \( y = \cos(-x); \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Отразим его относительно оси ординат;

в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Переместим его на две единицы влево;

Сожмем его в 2 раза вдоль оси ординат;

г) \( y = -2 \cos(x — 2); \)

Построим график функции \( y = \cos x; \)

Переместим его на две единицы вправо;

Отразим его относительно оси абсцисс;

Растянем его в 2 раза вдоль оси ординат;

Рассмотрим задачу на нахождение преобразований графиков функций для получения новых функций из исходной \( y = \cos x \).

а) \( y = -\cos x; \)

1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду, начиная с максимума при \( x = 0 \), с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.

2. Для того чтобы получить график функции \( y = -\cos x \), нужно отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси абсцисс. Это приведет к инверсии всех значений функции (положительные значения становятся отрицательными и наоборот), но период и форма графика остаются неизменными.

Ответ: отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси абсцисс.

б) \( y = \cos(-x); \)

1. Построим график функции \( y = \cos x \).

2. Чтобы получить график функции \( y = \cos(-x) \), нужно отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси ординат. Это связано с тем, что \( \cos(-x) = \cos x \), и отражение не изменит график, так как косинус — четная функция. Таким образом, график функции \( y = \cos(-x) \) будет идентичен графику функции \( y = \cos x \), и никаких изменений не требуется.

Ответ: отразить график функции \( y = \cos x \) относительно оси ординат (или заметить, что функция остается неизменной, так как косинус четная функция).

в) \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2); \)

1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.

2. Для того чтобы получить график функции \( y = \frac{1}{2} \cos(x + 2) \), нужно выполнить два преобразования:

3. Переместить график на 2 единицы влево. Это осуществляется сдвигом графика функции по оси \( x \) на \( 2 \) единицы влево, то есть для каждого значения \( x \) заменяем его на \( x + 2 \).

4. Сжать график вдоль оси ординат в 2 раза. Это делается путем умножения функции на \( \frac{1}{2} \), что приводит к уменьшению амплитуды графика функции в 2 раза (максимальное значение функции теперь будет равно \( \frac{1}{2} \), а минимальное \( -\frac{1}{2} \)).

Ответ: переместить график на 2 единицы влево и сжать его вдоль оси ординат в 2 раза.

г) \( y = -2 \cos(x — 2); \)

1. Построим график функции \( y = \cos x \), который представляет собой стандартную косинусоиду с периодом \( 2\pi \) и амплитудой 1.

2. Для того чтобы получить график функции \( y = -2 \cos(x — 2) \), нужно выполнить следующие преобразования:

3. Переместить график на 2 единицы вправо. Это сдвигает график функции по оси \( x \) на \( 2 \) единицы вправо, заменив \( x \) на \( x — 2 \).

4. Отразить график относительно оси абсцисс. Это делается умножением на \( -1 \), что инвертирует все значения функции, то есть положительные значения станут отрицательными и наоборот.

5. Растянуть график вдоль оси ординат в 2 раза. Это выполняется умножением функции на \( -2 \), что увеличивает амплитуду функции в 2 раза (максимум будет равен \( 2 \), минимум \( -2 \)).

Ответ: переместить график на 2 единицы вправо, отразить его относительно оси абсцисс и растянуть вдоль оси ординат в 2 раза.