Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1335 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли периодической функция:
а) \( y = 1 + \sin x; \)
б) \( y = x + \cos x; \)
в) \( y = \cos x — 2\pi; \)
г) \( y = \sin x — x? \)
Периодична ли функция:
а) \( y = 1 + \sin x; \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( 1 + \sin(x + T) = 1 + \sin x; \)
\( 1 + \sin(x + 2\pi) = 1 + \sin x; \)
Ответ: да.
б) \( y = x + \cos x; \)
Если \( x_2 = x_1 + 2 \), тогда:
\( y(x_2) = x_1 + 2 + \cos(x_1 + 2); \)
\( y(x_1) = x_1 + \cos(x_1) < y(x_2); \)
Ответ: нет.
в) \( y = \cos x — 2\pi; \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( \cos(x + T) — 2\pi = \cos x — 2\pi; \)
\( \cos(x + 2\pi) — 2\pi = \cos x — 2\pi; \)
Ответ: да.
г) \( y = \sin x — x; \)
Если \( x_2 = x_1 — 2 \), тогда:
\( y(x_2) = \sin(x_1 — 2) — x_1 + 2; \)
\( y(x_1) = \sin(x_1) — x_1 < y(x_2); \)
Ответ: нет.
Рассмотрим задачу на проверку периодичности функций.
а) \( y = 1 + \sin x; \)
1. Чтобы доказать периодичность функции, нужно показать, что существует такой период \( T \), что для всех значений \( x \) выполняется условие \( y(x + T) = y(x) \).
2. Подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = 1 + \sin(x + T);
\]
3. Мы знаем, что функция \( \sin x \) имеет период \( 2\pi \), то есть \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \). Таким образом:
\[
y(x + 2\pi) = 1 + \sin(x + 2\pi) =\]
\[1 + \sin x = y(x);
\]
Ответ: функция \( y = 1 + \sin x \) периодична с периодом \( 2\pi \).
б) \( y = x + \cos x; \)
1. Рассмотрим, является ли функция \( y = x + \cos x \) периодической. Для этого подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = (x + T) + \cos(x + T) =\]
\[x + T + \cos(x + T);
\]
2. Сравним это с выражением \( y(x) = x + \cos x \). Для того чтобы функция была периодической, должно выполняться \( y(x + T) = y(x) \). Однако, для функции \( y(x) = x + \cos x \) при любом \( T \) результат \( y(x + T) \) всегда будет больше \( y(x) \) на величину \( T \), так как линейный член \( x \) увеличивает значение функции на \( T \), а это делает функцию не периодической.
Ответ: функция \( y = x + \cos x \) не является периодической.
в) \( y = \cos x — 2\pi; \)
1. Рассмотрим, является ли функция \( y = \cos x — 2\pi \) периодической. Подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = \cos(x + T) — 2\pi;
\]
2. Мы знаем, что функция \( \cos x \) имеет период \( 2\pi \), то есть \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \). Следовательно:
\[
y(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) -\]
\[ 2\pi = \cos x — 2\pi = y(x);
\]
Ответ: функция \( y = \cos x — 2\pi \) периодична с периодом \( 2\pi \).
г) \( y = \sin x — x; \)
1. Рассмотрим, является ли функция \( y = \sin x — x \) периодической. Подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = \sin(x + T) -\]
\[(x + T) = \sin(x + T) — x — T;
\]
2. Сравним это с выражением \( y(x) = \sin x — x \). Для того чтобы функция была периодической, должно выполняться \( y(x + T) = y(x) \). Однако линейный член \( -x \) всегда будет изменять значение функции, даже если синус будет повторяться, так как линейная функция не имеет периода.
Ответ: функция \( y = \sin x — x \) не является периодической.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.