Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1334 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каких \( x \) из промежутка \([0; \frac{\pi}{2}]\) имеет смысл выражение:
а) \( \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x}; \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{2} — \cos x}; \)
в) \( \sqrt{\sin x — \frac{\sqrt{2}}{2}}; \)
г) \( \sqrt{\cos x — \frac{\sqrt{3}}{2}}? \)
Найти значения \( x \in [0; \frac{\pi}{2}]: \)
а) \( \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x}; \)
Область определения:
\( \frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x \geq 0; \)
\( \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
Ответ: \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}. \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{2} — \cos x}; \)
Область определения:
\( \frac{1}{2} — \cos x \geq 0; \)
\( \cos x \leq \frac{1}{2}; \)
Ответ: \( \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2}. \)
в) \( \sqrt{\sin x — \frac{\sqrt{2}}{2}}; \)
Область определения:
\( \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0; \)
\( \sin x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}; \)
Ответ: \( \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}. \)
г) \( \sqrt{\cos x — \frac{\sqrt{3}}{2}}; \)
Область определения:
\( \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0; \)
\( \cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
Ответ: \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}. \)
Рассмотрим задачу на нахождение значений \( x \in [0; \frac{\pi}{2}] \), при которых выражения имеют смысл.
а) \( \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x}; \)
1. Для того чтобы выражение \( \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x} \) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} — \sin x \geq 0;
\]
2. Преобразуем неравенство:
\[
\sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2};
\]
3. Значение \( \sin x \) возрастает на интервале \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно, условие выполняется для \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} \).
Ответ: \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3}. \)
б) \( \sqrt{\frac{1}{2} — \cos x}; \)
1. Для того чтобы выражение \( \sqrt{\frac{1}{2} — \cos x} \) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
\frac{1}{2} — \cos x \geq 0;
\]
2. Преобразуем неравенство:
\[
\cos x \leq \frac{1}{2};
\]
3. Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), и функция \( \cos x \) убывает на интервале \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Таким образом, условие выполняется для \( \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \).
Ответ: \( \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2}. \)
в) \( \sqrt{\sin x — \frac{\sqrt{2}}{2}}; \)
1. Для того чтобы выражение \( \sqrt{\sin x — \frac{\sqrt{2}}{2}} \) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
\sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0;
\]
2. Преобразуем неравенство:
\[
\sin x \geq \frac{\sqrt{2}}{2};
\]
3. Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), и функция \( \sin x \) возрастает на интервале \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Таким образом, условие выполняется для \( \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \).
Ответ: \( \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2}. \)
г) \( \sqrt{\cos x — \frac{\sqrt{3}}{2}}; \)
1. Для того чтобы выражение \( \sqrt{\cos x — \frac{\sqrt{3}}{2}} \) имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
\cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0;
\]
2. Преобразуем неравенство:
\[
\cos x \geq \frac{\sqrt{3}}{2};
\]
3. Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и функция \( \cos x \) убывает на интервале \( [0; \frac{\pi}{2}] \). Таким образом, условие выполняется для \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \).
Ответ: \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6}. \)
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.