Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1333 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
а) \( \sin 31^\circ + \cos 59^\circ > 1; \)
б) \( \sin 58^\circ + \cos 61^\circ < \sqrt{3}. \)
Доказать неравенство:
а) \( \sin 31^\circ + \cos 59^\circ > 1; \)
\( \sin 31^\circ > \sin 30^\circ = \frac{1}{2}; \)
\( \cos 59^\circ > \cos 60^\circ = \frac{1}{2}; \)
Неравенство доказано.
б) \( \sin 58^\circ + \cos 61^\circ < \sqrt{3}; \)
\( \sin 58^\circ < \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
\( \cos 61^\circ < \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
Неравенство доказано.
Рассмотрим задачу на доказательство неравенств для тригонометрических функций.
а) \( \sin 31^\circ + \cos 59^\circ > 1; \)
1. Рассмотрим значения тригонометрических функций при \( 31^\circ \) и \( 59^\circ \).
2. Мы знаем, что \( \sin 31^\circ \) будет больше, чем \( \sin 30^\circ \), так как угол \( 31^\circ \) больше, чем \( 30^\circ \), а синус возрастает на интервале от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Мы знаем, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), следовательно:
\[
\sin 31^\circ > \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
\]
3. Также \( \cos 59^\circ \) будет больше, чем \( \cos 60^\circ \), так как угол \( 59^\circ \) меньше, чем \( 60^\circ \), а косинус убывает на интервале от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Мы знаем, что \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), следовательно:
\[
\cos 59^\circ > \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
\]
4. Теперь складываем эти два неравенства:
\[
\sin 31^\circ + \cos 59^\circ > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.
\]
Ответ: неравенство доказано.
б) \( \sin 58^\circ + \cos 61^\circ < \sqrt{3}; \)
1. Рассмотрим значения тригонометрических функций при \( 58^\circ \) и \( 61^\circ \).
2. Мы знаем, что \( \sin 58^\circ \) будет меньше, чем \( \sin 60^\circ \), так как угол \( 58^\circ \) меньше \( 60^\circ \), а синус возрастает на интервале от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Мы знаем, что \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно:
\[
\sin 58^\circ < \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
3. Также \( \cos 61^\circ \) будет меньше, чем \( \cos 30^\circ \), так как угол \( 61^\circ \) больше \( 30^\circ \), а косинус убывает на интервале от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Мы знаем, что \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно:
\[
\cos 61^\circ < \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
4. Теперь складываем эти два неравенства:
\[
\sin 58^\circ + \cos 61^\circ < \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}.
\]
Ответ: неравенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.