ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1331 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните:

а) \( \sin 718^\circ \) и \( \sin 719^\circ; \)

в) \( \sin \frac{12\pi}{5} \) и \( \sin \frac{11\pi}{5}; \)

б) \( \cos(-516^\circ) \) и \( \cos(-514^\circ); \)

г) \( \cos \frac{25}{8}\pi \) и \( \cos \frac{27}{8}\pi. \)

Сравнить числа:

а) \( \sin 718^\circ \) и \( \sin 719^\circ; \)

\( 630^\circ < 718^\circ < 719^\circ < 810^\circ; \)

\( -90^\circ < -2^\circ < -1^\circ < 90^\circ; \)

Ответ: \( \sin 718^\circ < \sin 719^\circ. \)

б) \( \cos(-516^\circ) \) и \( \cos(-514^\circ); \)

\( -540^\circ < -516^\circ < -514^\circ < -360^\circ; \)

\( -180^\circ < -156^\circ < -154^\circ < 0^\circ; \)

Ответ: \( \cos(-516^\circ) < \cos(-514^\circ). \)

в) \( \sin \frac{12\pi}{5} \) и \( \sin \frac{11\pi}{5}; \)

\( \frac{3\pi}{2} < \frac{11\pi}{5} < \frac{12\pi}{5} < \frac{5\pi}{2}; \)

\( -\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{5} < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \sin \frac{12\pi}{5} > \sin \frac{11\pi}{5}. \)

г) \( \cos \frac{25}{8}\pi \) и \( \cos \frac{27}{8}\pi; \)

\( 3\pi < \frac{25}{8}\pi < \frac{27}{8}\pi < 4\pi; \)

\( \pi < \frac{9\pi}{8} < \frac{11\pi}{8} < 2\pi; \)

Ответ: \( \cos \frac{25}{8}\pi < \cos \frac{27}{8}\pi. \)

Рассмотрим задачу на сравнение значений тригонометрических функций.

а) \( \sin 718^\circ \) и \( \sin 719^\circ; \)

1. Для начала приведем углы к значениям в пределах одного круга (от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \)). Для этого используем свойство, что \( \sin \theta = \sin(\theta — 360n) \), где \( n \) — целое число.

2. Приводим углы:

\[
718^\circ — 360^\circ = 358^\circ, \quad 719^\circ — 360^\circ = 359^\circ;
\]

3. Сравниваем значения синуса на интервале \( [0^\circ, 360^\circ] \). Мы знаем, что синус убывает в интервале от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \) и возрастает с \( 180^\circ \) до \( 360^\circ \). Поскольку \( 358^\circ \) и \( 359^\circ \) находятся близко друг к другу, и \( 359^\circ \) ближе к \( 360^\circ \), то \( \sin 719^\circ > \sin 718^\circ \), так как \( \sin 359^\circ > \sin 358^\circ \).

Ответ: \( \sin 718^\circ < \sin 719^\circ. \)

б) \( \cos(-516^\circ) \) и \( \cos(-514^\circ); \)

1. Приводим углы к значениям в пределах \( [0^\circ, 360^\circ] \). Для этого используем свойство, что \( \cos \theta = \cos(\theta + 360n) \), где \( n \) — целое число.

2. Приводим углы:

\[
-516^\circ + 720^\circ = 204^\circ, \quad -514^\circ + 720^\circ = 206^\circ;
\]

3. Сравниваем значения косинуса на интервале \( [0^\circ, 360^\circ] \). Мы знаем, что косинус убывает от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \) и возрастает с \( 180^\circ \) до \( 360^\circ \). Поскольку \( 204^\circ \) и \( 206^\circ \) находятся в убывающей части функции, то \( \cos(204^\circ) > \cos(206^\circ) \), следовательно, \( \cos(-516^\circ) > \cos(-514^\circ) \).

Ответ: \( \cos(-516^\circ) < \cos(-514^\circ). \)

в) \( \sin \frac{12\pi}{5} \) и \( \sin \frac{11\pi}{5}; \)

1. Приводим углы к значениям в пределах \( [0, 2\pi] \). Сначала приведем дроби, так как значения \( \frac{12\pi}{5} \) и \( \frac{11\pi}{5} \) больше \( 2\pi \). Для этого вычитаем \( 2\pi \), чтобы привести их в нужный диапазон:

\[
\frac{12\pi}{5} — 2\pi = \frac{12\pi}{5} — \frac{10\pi}{5} = \frac{2\pi}{5},\]

\[\quad \frac{11\pi}{5} — 2\pi = \frac{11\pi}{5} — \frac{10\pi}{5} = \frac{\pi}{5};
\]

2. Теперь сравниваем \( \sin \frac{2\pi}{5} \) и \( \sin \frac{\pi}{5} \). Мы знаем, что синус возрастает от \( 0 \) до \( \frac{\pi}{2} \), а затем убывает до \( \pi \). Поскольку \( \frac{2\pi}{5} > \frac{\pi}{5} \), то \( \sin \frac{2\pi}{5} > \sin \frac{\pi}{5} \).

Ответ: \( \sin \frac{12\pi}{5} > \sin \frac{11\pi}{5}. \)

г) \( \cos \frac{25}{8}\pi \) и \( \cos \frac{27}{8}\pi; \)

1. Приводим углы к значениям в пределах \( [0, 2\pi] \). Для этого сначала вычислим углы \( \frac{25}{8}\pi \) и \( \frac{27}{8}\pi \). Мы знаем, что \( \frac{25}{8}\pi \) и \( \frac{27}{8}\pi \) больше \( 2\pi \), поэтому вычитаем \( 2\pi \), чтобы привести их в нужный диапазон:

\[
\frac{25}{8}\pi — 2\pi = \frac{25}{8}\pi — \frac{16}{8}\pi = \frac{9}{8}\pi,\]

\[\quad \frac{27}{8}\pi — 2\pi = \frac{27}{8}\pi — \frac{16}{8}\pi = \frac{11}{8}\pi;
\]

2. Теперь сравниваем \( \cos \frac{9\pi}{8} \) и \( \cos \frac{11\pi}{8} \). Мы знаем, что косинус убывает на интервале \( (0, \pi) \) и возрастает на интервале \( (\pi, 2\pi) \). Поскольку \( \frac{11\pi}{8} > \frac{9\pi}{8} \), то \( \cos \frac{11\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8} \).

Ответ: \( \cos \frac{25}{8}\pi < \cos \frac{27}{8}\pi. \)