ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1327 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из села в город, расстояние до которого 72 км, выехал велосипедист. Через час из города в село выехал другой велосипедист и прибыл в село через 2 ч после их встречи. Найдите скорость первого велосипедиста, если он прибыл в город через 3 ч после встречи.

Зададим переменные:

\( x \) км/ч — скорость первого;

\( y \) км/ч — скорость второго;

1) Первое уравнение:

\( 3x + 2y = 72; \)

\( 2y = 72 — 3x; \)

\( y = 36 — \frac{3}{2}x; \)

2) Второе уравнение:

\( \frac{2y}{x} = \frac{3x}{y} + 1, \quad 2y^2 = 3x^2 + xy; \)

\( \left( 36 — \frac{3}{2}x \right)(72 — 3x) = 3x^2 + x\left( 36 — \frac{3}{2}x \right); \)

\( 2592 — 108x — 108x + \frac{9}{2}x^2 = 3x^2 + 36x — \frac{3}{2}x^2; \)

\( 3x^2 — 252x + 2592 = 0; \)

\( x^2 — 84x + 864 = 0; \)

\( D = 84^2 — 4 \cdot 864 = 7056 — 3456 = 3600, \) тогда:

\( x_1 = \frac{84 — 60}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) и \( x_2 = \frac{84 + 60}{2} = 72; \)

\( y_1 = 36 — 18 = 18 \) и \( y_2 = 36 — 108 = -72; \)

Ответ: \( 12 \) км/ч.

Рассмотрим задачу на нахождение скорости первого велосипедиста.

Зададим переменные:

\( x \) км/ч — скорость первого велосипедиста;

\( y \) км/ч — скорость второго велосипедиста.

1) Первое уравнение:

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проезжает 72 км за 3 часа после встречи. То есть, его скорость \( x \), умноженная на время (3 ч), должна быть равна 72 км. Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

\[
3x + 2y = 72;
\]

Преобразуем его относительно \( y \):

\[
2y = 72 — 3x;
\]

\[
y = 36 — \frac{3}{2}x;
\]

2) Второе уравнение:

Мы знаем, что второй велосипедист выехал через час после первого и приехал в село через 2 часа после их встречи. Таким образом, можно записать уравнение для их взаимного времени:

\[
\frac{2y}{x} = \frac{3x}{y} + 1, \quad 2y^2 = 3x^2 + xy;
\]

Теперь подставим выражение для \( y \) из первого уравнения:

\[
\left( 36 — \frac{3}{2}x \right)(72 — 3x) = 3x^2 + x\left( 36 — \frac{3}{2}x \right);
\]

3) Раскроем скобки:

\[
2592 — 108x — 108x + \frac{9}{2}x^2 =\]

\[3x^2 + 36x — \frac{3}{2}x^2;
\]

4) Упростим выражение:

\[
2592 — 216x + \frac{9}{2}x^2 = 3x^2 + 36x — \frac{3}{2}x^2;
\]

5) Преобразуем уравнение, чтобы привести все члены к одной стороне:

\[
3x^2 — 252x + 2592 = 0;
\]

6) Упростим уравнение:

\[
x^2 — 84x + 864 = 0;
\]

7) Найдем дискриминант уравнения:

\[
D = 84^2 — 4 \cdot 864 = 7056 — 3456 = 3600;
\]

8) Теперь находим корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{84 — 60}{2} = \frac{24}{2} =\]

\[12, \quad x_2 = \frac{84 + 60}{2} = 72;
\]

9) Проверим значение \( y \) для каждого корня \( x \):

Для \( x_1 = 12 \):

\[
y_1 = 36 — 18 = 18;
\]

Для \( x_2 = 72 \):

\[
y_2 = 36 — 108 = -72;
\]

10) Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем \( x_1 = 12 \) км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста равна \( 12 \) км/ч.