ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1323 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите основной период функции:

а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)

в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)

б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)

г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}. \)

Найти основной период:

а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)

\( 5T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{2\pi}{5}; \)

\( 3T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3}; \)

\( \frac{2\pi}{5} \cdot n = \frac{2\pi}{3} \cdot k; \)

\( \frac{n}{5} = \frac{k}{3}, \quad n = \frac{5k}{3}; \)

\( k = 3, \quad T = 2\pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)

\( 4T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{\pi}{2}; \)

\( \frac{1}{2} T_2 = \pi, \quad T_2 = 2\pi; \)

Ответ: \( 2\pi. \)

в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)

\( \frac{1}{3} T_1 = 2\pi, \quad T_1 = 6\pi; \)

\( 2T_2 = \pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( 6\pi. \)

г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad 4T_2 = 2\pi, \quad \frac{1}{4} T_3 = \pi; \)

\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{2}, \quad T_3 = 4\pi; \)

Ответ: \( 4\pi. \)

Рассмотрим задачу на нахождение основного периода функции для различных комбинаций тригонометрических функций.

а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)

1. Основной период для функции \( \sin 5x \) определяется периодом синуса. Период синуса равен \( 2\pi \), но с коэффициентом 5 перед \( x \), основной период уменьшится в 5 раз. Таким образом, период для функции \( \sin 5x \) равен:

\[
5T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{2\pi}{5};
\]

2. Для функции \( \cos 3x \) аналогично: период косинуса равен \( 2\pi \), и с коэффициентом 3 перед \( x \) основной период будет уменьшен в 3 раза:

\[
3T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3};
\]

3. Чтобы найти основной период сложной функции, нужно найти наименьшее общее кратное периодов \( T_1 \) и \( T_2 \). Для этого решаем уравнение:

\[
\frac{2\pi}{5} \cdot n = \frac{2\pi}{3} \cdot k;
\]

4. Упростим выражение:

\[
\frac{n}{5} = \frac{k}{3}, \quad n = \frac{5k}{3};
\]

5. Положительное решение для целых чисел дает \( k = 3 \), что означает \( T = 2\pi \).

Ответ: основной период функции \( y = \sin 5x — \cos 3x \) равен \( 2\pi \).

б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)

1. Для функции \( \sin 4x \), период равен \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \), так как период синуса с коэффициентом 4 перед \( x \) равен \( \frac{2\pi}{4} \).

2. Для функции \( \tan \frac{x}{2} \), период равен \( 2\pi \), так как период тангенса с коэффициентом \( \frac{1}{2} \) перед \( x \) равен \( 2\pi \). Таким образом:

\[
\frac{1}{2} T_2 = \pi, \quad T_2 = 2\pi;
\]

3. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное периодов \( T_1 = \frac{\pi}{2} \) и \( T_2 = 2\pi \). Наименьшее общее кратное этих периодов равно \( 2\pi \).

Ответ: основной период функции \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2} \) равен \( 2\pi \).

в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)

1. Для функции \( \cos \frac{x}{3} \), период равен \( 2\pi \cdot 3 = 6\pi \), так как период косинуса с коэффициентом \( \frac{1}{3} \) перед \( x \) равен \( 6\pi \).

2. Для функции \( \cot 2x \), период равен \( \frac{\pi}{2} \), так как период котангенса с коэффициентом 2 перед \( x \) равен \( \frac{\pi}{2} \).

3. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное этих двух периодов \( 6\pi \) и \( \frac{\pi}{2} \). Наименьшее общее кратное равно \( 6\pi \).

Ответ: основной период функции \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x \) равен \( 6\pi \).

г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}; \)

1. Для функции \( \sin x \), период равен \( 2\pi \), так как период синуса стандартный.

2. Для функции \( \cos 4x \), период равен \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \), так как период косинуса с коэффициентом 4 перед \( x \) равен \( \frac{\pi}{2} \).

3. Для функции \( \tan \frac{x}{4} \), период равен \( 4\pi \), так как период тангенса с коэффициентом \( \frac{1}{4} \) перед \( x \) равен \( 4\pi \).

4. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное этих периодов \( 2\pi \), \( \frac{\pi}{2} \) и \( 4\pi \). Наименьшее общее кратное этих периодов равно \( 4\pi \).

Ответ: основной период функции \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4} \) равен \( 4\pi \).