Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1323 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите основной период функции:
а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)
в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)
б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)
г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}. \)
Найти основной период:
а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)
\( 5T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{2\pi}{5}; \)
\( 3T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3}; \)
\( \frac{2\pi}{5} \cdot n = \frac{2\pi}{3} \cdot k; \)
\( \frac{n}{5} = \frac{k}{3}, \quad n = \frac{5k}{3}; \)
\( k = 3, \quad T = 2\pi; \)
Ответ: \( 2\pi. \)
б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)
\( 4T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{\pi}{2}; \)
\( \frac{1}{2} T_2 = \pi, \quad T_2 = 2\pi; \)
Ответ: \( 2\pi. \)
в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)
\( \frac{1}{3} T_1 = 2\pi, \quad T_1 = 6\pi; \)
\( 2T_2 = \pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{2}; \)
Ответ: \( 6\pi. \)
г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}; \)
\( T_1 = 2\pi, \quad 4T_2 = 2\pi, \quad \frac{1}{4} T_3 = \pi; \)
\( T_1 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{\pi}{2}, \quad T_3 = 4\pi; \)
Ответ: \( 4\pi. \)
Рассмотрим задачу на нахождение основного периода функции для различных комбинаций тригонометрических функций.
а) \( y = \sin 5x — \cos 3x; \)
1. Основной период для функции \( \sin 5x \) определяется периодом синуса. Период синуса равен \( 2\pi \), но с коэффициентом 5 перед \( x \), основной период уменьшится в 5 раз. Таким образом, период для функции \( \sin 5x \) равен:
\[
5T_1 = 2\pi, \quad T_1 = \frac{2\pi}{5};
\]
2. Для функции \( \cos 3x \) аналогично: период косинуса равен \( 2\pi \), и с коэффициентом 3 перед \( x \) основной период будет уменьшен в 3 раза:
\[
3T_2 = 2\pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{3};
\]
3. Чтобы найти основной период сложной функции, нужно найти наименьшее общее кратное периодов \( T_1 \) и \( T_2 \). Для этого решаем уравнение:
\[
\frac{2\pi}{5} \cdot n = \frac{2\pi}{3} \cdot k;
\]
4. Упростим выражение:
\[
\frac{n}{5} = \frac{k}{3}, \quad n = \frac{5k}{3};
\]
5. Положительное решение для целых чисел дает \( k = 3 \), что означает \( T = 2\pi \).
Ответ: основной период функции \( y = \sin 5x — \cos 3x \) равен \( 2\pi \).
б) \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2}; \)
1. Для функции \( \sin 4x \), период равен \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \), так как период синуса с коэффициентом 4 перед \( x \) равен \( \frac{2\pi}{4} \).
2. Для функции \( \tan \frac{x}{2} \), период равен \( 2\pi \), так как период тангенса с коэффициентом \( \frac{1}{2} \) перед \( x \) равен \( 2\pi \). Таким образом:
\[
\frac{1}{2} T_2 = \pi, \quad T_2 = 2\pi;
\]
3. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное периодов \( T_1 = \frac{\pi}{2} \) и \( T_2 = 2\pi \). Наименьшее общее кратное этих периодов равно \( 2\pi \).
Ответ: основной период функции \( y = \sin 4x + \tan \frac{x}{2} \) равен \( 2\pi \).
в) \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x; \)
1. Для функции \( \cos \frac{x}{3} \), период равен \( 2\pi \cdot 3 = 6\pi \), так как период косинуса с коэффициентом \( \frac{1}{3} \) перед \( x \) равен \( 6\pi \).
2. Для функции \( \cot 2x \), период равен \( \frac{\pi}{2} \), так как период котангенса с коэффициентом 2 перед \( x \) равен \( \frac{\pi}{2} \).
3. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное этих двух периодов \( 6\pi \) и \( \frac{\pi}{2} \). Наименьшее общее кратное равно \( 6\pi \).
Ответ: основной период функции \( y = \cos \frac{x}{3} — 5 \cot 2x \) равен \( 6\pi \).
г) \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4}; \)
1. Для функции \( \sin x \), период равен \( 2\pi \), так как период синуса стандартный.
2. Для функции \( \cos 4x \), период равен \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \), так как период косинуса с коэффициентом 4 перед \( x \) равен \( \frac{\pi}{2} \).
3. Для функции \( \tan \frac{x}{4} \), период равен \( 4\pi \), так как период тангенса с коэффициентом \( \frac{1}{4} \) перед \( x \) равен \( 4\pi \).
4. Чтобы найти основной период, нужно взять наименьшее общее кратное этих периодов \( 2\pi \), \( \frac{\pi}{2} \) и \( 4\pi \). Наименьшее общее кратное этих периодов равно \( 4\pi \).
Ответ: основной период функции \( y = \sin x — 2 \cos 4x + \tan \frac{x}{4} \) равен \( 4\pi \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.