ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1322 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли периодической функция:

а) \( y = \sin |x|; \)

б) \( y = |\sin x|; \)

в) \( y = \cos^2 x? \)

Периодична ли функция:

а) \( y = \sin |x|; \)

\( y(x + T) = y(x); \)

\( y(T) = y(0); \)

\( \sin |T| = \sin 0 = 0; \)

\( |T| = \pi n, \quad T = \pi n; \)

Если \( T = 2\pi \), тогда:

\( \sin \left| -\frac{\pi}{2} + 2\pi \right| = \sin \left| -\frac{\pi}{2} \right|; \)

\( \sin \frac{3\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2}, \quad -1 = 1; \)

Ответ: нет.

б) \( y = |\sin x|; \)

\( y(x + T) = y(x); \)

\( |\sin(x + T)| = |\sin x|; \)

\( \sin(x + T) = \pm \sin x; \)

\( x + T = x + \pi, \quad T = \pi; \)

Ответ: да.

в) \( y = \cos^2 x; \)

\( y(x + T) = y(x); \)

\( \cos^2(x + T) = \cos^2 x; \)

\( \cos(x + T) = \pm \cos x; \)

\( x + T = x + \pi, \quad T = \pi; \)

Ответ: да.

Рассмотрим задачу на определение, является ли функция периодической.

а) \( y = \sin |x|; \)

1. Для того чтобы функция была периодической, нужно, чтобы выполнялось условие \( y(x + T) = y(x) \), где \( T \) — период функции.

2. Рассмотрим, что происходит, если мы добавим период \( T \) к функции \( y = \sin |x| \). Тогда:

\[
y(x + T) = \sin |x + T|
\]

3. Из-за модульной функции \( |x| \), мы получаем, что:

\[
\sin |x + T| = \sin |x|
\]

4. Это верно только в том случае, если \( |T| = \pi n \), где \( n \) — целое число, так как синус обнуляется на целых кратных \( \pi \). Однако, при \( T = 2\pi \) для углов, например, \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi \), значение синуса для \( x = -\frac{\pi}{2} \) будет не равно значению синуса для \( x = \frac{\pi}{2} \), что приводит к противоречию. Например, \( \sin \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = -1 \), но \( \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Ответ: Функция не является периодической.

б) \( y = |\sin x|; \)

1. Проверим периодичность функции \( y = |\sin x| \). Для этого подставим \( x + T \) в выражение функции:

\[
y(x + T) = |\sin(x + T)|
\]

2. Для выполнения условия периодичности, должно быть выполнено \( |\sin(x + T)| = |\sin x| \). Это верно, если \( \sin(x + T) = \pm \sin x \), что происходит при \( T = \pi \), так как \( \sin(x + \pi) = -\sin x \). Поэтому, функция \( |\sin x| \) имеет период \( \pi \).

Ответ: Функция является периодической с периодом \( \pi \).

в) \( y = \cos^2 x; \)

1. Рассмотрим периодичность функции \( y = \cos^2 x \). Подставим \( x + T \) в выражение функции:

\[
y(x + T) = \cos^2(x + T)
\]

2. Для того чтобы функция была периодической, должно выполняться \( \cos^2(x + T) = \cos^2 x \). Это возможно, если \( \cos(x + T) = \pm \cos x \), что происходит при \( T = \pi \), так как \( \cos(x + \pi) = -\cos x \).

Ответ: Функция является периодической с периодом \( \pi \).