Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1322 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли периодической функция:
а) \( y = \sin |x|; \)
б) \( y = |\sin x|; \)
в) \( y = \cos^2 x? \)
Периодична ли функция:
а) \( y = \sin |x|; \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( y(T) = y(0); \)
\( \sin |T| = \sin 0 = 0; \)
\( |T| = \pi n, \quad T = \pi n; \)
Если \( T = 2\pi \), тогда:
\( \sin \left| -\frac{\pi}{2} + 2\pi \right| = \sin \left| -\frac{\pi}{2} \right|; \)
\( \sin \frac{3\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2}, \quad -1 = 1; \)
Ответ: нет.
б) \( y = |\sin x|; \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( |\sin(x + T)| = |\sin x|; \)
\( \sin(x + T) = \pm \sin x; \)
\( x + T = x + \pi, \quad T = \pi; \)
Ответ: да.
в) \( y = \cos^2 x; \)
\( y(x + T) = y(x); \)
\( \cos^2(x + T) = \cos^2 x; \)
\( \cos(x + T) = \pm \cos x; \)
\( x + T = x + \pi, \quad T = \pi; \)
Ответ: да.
Рассмотрим задачу на определение, является ли функция периодической.
а) \( y = \sin |x|; \)
1. Для того чтобы функция была периодической, нужно, чтобы выполнялось условие \( y(x + T) = y(x) \), где \( T \) — период функции.
2. Рассмотрим, что происходит, если мы добавим период \( T \) к функции \( y = \sin |x| \). Тогда:
\[
y(x + T) = \sin |x + T|
\]
3. Из-за модульной функции \( |x| \), мы получаем, что:
\[
\sin |x + T| = \sin |x|
\]
4. Это верно только в том случае, если \( |T| = \pi n \), где \( n \) — целое число, так как синус обнуляется на целых кратных \( \pi \). Однако, при \( T = 2\pi \) для углов, например, \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi \), значение синуса для \( x = -\frac{\pi}{2} \) будет не равно значению синуса для \( x = \frac{\pi}{2} \), что приводит к противоречию. Например, \( \sin \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = -1 \), но \( \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).
Ответ: Функция не является периодической.
б) \( y = |\sin x|; \)
1. Проверим периодичность функции \( y = |\sin x| \). Для этого подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = |\sin(x + T)|
\]
2. Для выполнения условия периодичности, должно быть выполнено \( |\sin(x + T)| = |\sin x| \). Это верно, если \( \sin(x + T) = \pm \sin x \), что происходит при \( T = \pi \), так как \( \sin(x + \pi) = -\sin x \). Поэтому, функция \( |\sin x| \) имеет период \( \pi \).
Ответ: Функция является периодической с периодом \( \pi \).
в) \( y = \cos^2 x; \)
1. Рассмотрим периодичность функции \( y = \cos^2 x \). Подставим \( x + T \) в выражение функции:
\[
y(x + T) = \cos^2(x + T)
\]
2. Для того чтобы функция была периодической, должно выполняться \( \cos^2(x + T) = \cos^2 x \). Это возможно, если \( \cos(x + T) = \pm \cos x \), что происходит при \( T = \pi \), так как \( \cos(x + \pi) = -\cos x \).
Ответ: Функция является периодической с периодом \( \pi \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.