ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1321 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция Дирихле является периодической и что она не имеет наименьшего положительного периода:

\( f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\)

Функция является периодической:

\( f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\)

1) Если \( x \in \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \), тогда:

\( (x + T) \in \mathbb{R}, \quad (x — T) \in \mathbb{R}; \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T) = 1; \)

2) Если \( x \notin \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \), тогда:

\( (x + T) \notin \mathbb{R}, \quad (x — T) \notin \mathbb{R}; \)

\( f(x — T) = f(x) = f(x + T) = 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача: докажите, что функция Дирихле является периодической и что она не имеет наименьшего положительного периода.

Функция Дирихле задана следующим образом:

\[
f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\]

1. Докажем, что функция является периодической.

Для того чтобы доказать, что функция \( f(x) \) является периодической, нам нужно показать, что существует такое \( T > 0 \), что для всех \( x \in \mathbb{R} \), выполнено условие:

\[
f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R}.
\]

1.1. Рассмотрим \( x \in \mathbb{R} \), \( T \in \mathbb{R} \), где \( x \) — любое число на вещественной прямой, и \( T \) — период.

1.2. Если \( x \) рациональное, то \( f(x) = 1 \). Теперь рассмотрим \( x + T \) и \( x — T \):

Если \( x + T \) также рациональное, то \( f(x + T) = 1 \), и \( f(x) = 1 \), так как функция принимает значение 1 на всех рациональных числах;

Если \( x — T \) рациональное, то \( f(x — T) = 1 \), и \( f(x) = 1 \), так как функция принимает значение 1 на всех рациональных числах.

Таким образом, для рациональных чисел выполняется условие: \( f(x + T) = f(x) \).

1.3. Если \( x \) иррациональное, то \( f(x) = 0 \). Теперь рассмотрим \( x + T \) и \( x — T \):

Если \( x + T \) иррациональное, то \( f(x + T) = 0 \), и \( f(x) = 0 \), так как функция принимает значение 0 на всех иррациональных числах;

Если \( x — T \) иррациональное, то \( f(x — T) = 0 \), и \( f(x) = 0 \), так как функция принимает значение 0 на всех иррациональных числах.

Таким образом, для иррациональных чисел выполняется условие: \( f(x + T) = f(x) \).

1.4. Таким образом, мы показали, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \) выполняется \( f(x + T) = f(x) \), что доказывает, что функция является периодической.

2. Теперь покажем, что функция не имеет наименьшего положительного периода.

2.1. Чтобы доказать, что функция не имеет наименьшего положительного периода, предположим, что существует такой наименьший положительный период \( T_0 > 0 \), при котором выполняется условие \( f(x + T_0) = f(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

2.2. Рассмотрим рациональные числа \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = T_0 \). Мы знаем, что функция принимает значение 1 для рациональных чисел, и следовательно:

\( f(0 + T_0) = f(T_0) = 1 \), так как \( T_0 \) рационально;

\( f(0) = 1 \), так как 0 рационально.

Таким образом, функция будет удовлетворять условию периодичности для рациональных чисел.

2.3. Однако если мы рассматриваем иррациональное число \( x = \sqrt{2} \), то \( f(\sqrt{2} + T_0) = 0 \), так как \( \sqrt{2} \) иррационально, а \( f(\sqrt{2}) = 0 \), но на самом деле \( f(\sqrt{2} + T_0) = 1 \), так как \( T_0 \) рационально и \( \sqrt{2} + T_0 \) становится рациональным.

2.4. Получаем противоречие: для иррациональных чисел условие периодичности не выполняется с фиксированным \( T_0 \). Таким образом, не существует наименьшего положительного периода.

Ответ: Функция Дирихле является периодической, но не имеет наименьшего положительного периода.