Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1321 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что функция Дирихле является периодической и что она не имеет наименьшего положительного периода:
\( f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\)
Функция является периодической:
\( f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\)
1) Если \( x \in \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \), тогда:
\( (x + T) \in \mathbb{R}, \quad (x — T) \in \mathbb{R}; \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T) = 1; \)
2) Если \( x \notin \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \), тогда:
\( (x + T) \notin \mathbb{R}, \quad (x — T) \notin \mathbb{R}; \)
\( f(x — T) = f(x) = f(x + T) = 0; \)
Что и требовалось доказать.
Задача: докажите, что функция Дирихле является периодической и что она не имеет наименьшего положительного периода.
Функция Дирихле задана следующим образом:
\[
f(x) =
\begin{cases}
1, & \text{если } x \text{ — рациональное число}, \\
0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число}.
\end{cases}
\]
1. Докажем, что функция является периодической.
Для того чтобы доказать, что функция \( f(x) \) является периодической, нам нужно показать, что существует такое \( T > 0 \), что для всех \( x \in \mathbb{R} \), выполнено условие:
\[
f(x + T) = f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in \mathbb{R}.
\]
1.1. Рассмотрим \( x \in \mathbb{R} \), \( T \in \mathbb{R} \), где \( x \) — любое число на вещественной прямой, и \( T \) — период.
1.2. Если \( x \) рациональное, то \( f(x) = 1 \). Теперь рассмотрим \( x + T \) и \( x — T \):
Если \( x + T \) также рациональное, то \( f(x + T) = 1 \), и \( f(x) = 1 \), так как функция принимает значение 1 на всех рациональных числах;
Если \( x — T \) рациональное, то \( f(x — T) = 1 \), и \( f(x) = 1 \), так как функция принимает значение 1 на всех рациональных числах.
Таким образом, для рациональных чисел выполняется условие: \( f(x + T) = f(x) \).
1.3. Если \( x \) иррациональное, то \( f(x) = 0 \). Теперь рассмотрим \( x + T \) и \( x — T \):
Если \( x + T \) иррациональное, то \( f(x + T) = 0 \), и \( f(x) = 0 \), так как функция принимает значение 0 на всех иррациональных числах;
Если \( x — T \) иррациональное, то \( f(x — T) = 0 \), и \( f(x) = 0 \), так как функция принимает значение 0 на всех иррациональных числах.
Таким образом, для иррациональных чисел выполняется условие: \( f(x + T) = f(x) \).
1.4. Таким образом, мы показали, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) и \( T \in \mathbb{R} \) выполняется \( f(x + T) = f(x) \), что доказывает, что функция является периодической.
2. Теперь покажем, что функция не имеет наименьшего положительного периода.
2.1. Чтобы доказать, что функция не имеет наименьшего положительного периода, предположим, что существует такой наименьший положительный период \( T_0 > 0 \), при котором выполняется условие \( f(x + T_0) = f(x) \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
2.2. Рассмотрим рациональные числа \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = T_0 \). Мы знаем, что функция принимает значение 1 для рациональных чисел, и следовательно:
\( f(0 + T_0) = f(T_0) = 1 \), так как \( T_0 \) рационально;
\( f(0) = 1 \), так как 0 рационально.
Таким образом, функция будет удовлетворять условию периодичности для рациональных чисел.
2.3. Однако если мы рассматриваем иррациональное число \( x = \sqrt{2} \), то \( f(\sqrt{2} + T_0) = 0 \), так как \( \sqrt{2} \) иррационально, а \( f(\sqrt{2}) = 0 \), но на самом деле \( f(\sqrt{2} + T_0) = 1 \), так как \( T_0 \) рационально и \( \sqrt{2} + T_0 \) становится рациональным.
2.4. Получаем противоречие: для иррациональных чисел условие периодичности не выполняется с фиксированным \( T_0 \). Таким образом, не существует наименьшего положительного периода.
Ответ: Функция Дирихле является периодической, но не имеет наименьшего положительного периода.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.