Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1320 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите основной период функции:
а) \( \sin 3x; \)
б) \( \cos 0.5x; \)
в) \( \tan 5x; \)
г) \( \cot \frac{1}{2}x; \)
д) \( \sin \pi x; \)
e) \( \tan \pi x. \)
Найти основной период:
а) \( f(x) = \sin 3x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \sin 3(x + T) = \sin 3x; \)
\( \sin(3x + 3T) = \sin 3x; \)
\( 3T = 2\pi, \quad T = \frac{2\pi}{3}; \)
Ответ: \( \frac{2\pi}{3}. \)
б) \( f(x) = \cos 0.5x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \cos 0.5(x + T) = \cos 0.5x; \)
\( \cos(0.5x + 0.5T) = \cos 0.5x; \)
\( 0.5T = 2\pi, \quad T = 4\pi; \)
Ответ: \( 4\pi. \)
в) \( f(x) = \tan 5x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \tan 5(x + T) = \tan 5x; \)
\( \tan(5x + 5T) = \tan 5x; \)
\( 5T = \pi, \quad T = \frac{\pi}{5}; \)
Ответ: \( \frac{\pi}{5}. \)
г) \( f(x) = \cot \frac{1}{2}x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \cot \frac{1}{2}(x + T) = \cot \frac{1}{2}x; \)
\( \cot \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}T \right) = \cot \frac{1}{2}x; \)
\( \frac{1}{2}T = \pi, \quad T = 2\pi; \)
Ответ: \( 2\pi. \)
д) \( f(x) = \sin \pi x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \sin \pi(x + T) = \sin \pi x; \)
\( \sin(\pi x + \pi T) = \sin \pi x; \)
\( \pi T = 2\pi, \quad T = 2; \)
Ответ: \( 2. \)
e) \( f(x) = \tan \pi x; \)
\( f(x + T) = f(x); \)
\( \tan \pi(x + T) = \tan \pi x; \)
\( \tan(\pi x + \pi T) = \tan \pi x; \)
\( \pi T = \pi, \quad T = 1; \)
Ответ: \( 1. \)
Давайте подробно разберем задачу на нахождение основного периода тригонометрических функций, которые имеют различные коэффициенты перед переменной \( x \).
а) \( f(x) = \sin 3x; \)
1. Основной период функции синуса равен \( 2\pi \), то есть для обычной функции \( \sin x \) период будет \( 2\pi \). Однако в данном случае у нас есть коэффициент 3 перед \( x \), что означает, что функция будет изменяться быстрее, и период будет уменьшен в 3 раза. Период будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\sin 3(x + T) = \sin 3x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\sin(3x + 3T) = \sin 3x;
\]
Так как период функции синуса равен \( 2\pi \), решаем уравнение \( 3T = 2\pi \), откуда получаем:
\[
T = \frac{2\pi}{3};
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \sin 3x \) равен \( \frac{2\pi}{3} \).
б) \( f(x) = \cos 0.5x; \)
1. Основной период функции косинуса также равен \( 2\pi \), но с коэффициентом перед \( x \) равным \( 0.5 \), период будет увеличен в два раза, так как аргумент изменяется медленнее. Период для функции будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\cos 0.5(x + T) = \cos 0.5x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\cos(0.5x + 0.5T) = \cos 0.5x;
\]
Решим уравнение \( 0.5T = 2\pi \), получим:
\[
T = 4\pi;
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \cos 0.5x \) равен \( 4\pi \).
в) \( f(x) = \tan 5x; \)
1. Период функции тангенса равен \( \pi \). Если перед \( x \) стоит коэффициент 5, то период будет уменьшен в 5 раз. То есть основной период функции \( \tan 5x \) будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\tan 5(x + T) = \tan 5x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\tan(5x + 5T) = \tan 5x;
\]
Решим уравнение \( 5T = \pi \), получим:
\[
T = \frac{\pi}{5};
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \tan 5x \) равен \( \frac{\pi}{5} \).
г) \( f(x) = \cot \frac{1}{2}x; \)
1. Период функции котангенса равен \( \pi \), и с коэффициентом \( \frac{1}{2} \) перед \( x \), основной период увеличивается в два раза, так как аргумент изменяется медленнее. Период функции \( \cot \frac{1}{2}x \) будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\cot \frac{1}{2}(x + T) = \cot \frac{1}{2}x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\cot \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}T \right) = \cot \frac{1}{2}x;
\]
Решим уравнение \( \frac{1}{2}T = \pi \), получим:
\[
T = 2\pi;
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \cot \frac{1}{2}x \) равен \( 2\pi \).
д) \( f(x) = \sin \pi x; \)
1. Период функции синуса равен \( 2\pi \), и с коэффициентом \( \pi \) перед \( x \), основной период будет уменьшен в \( \pi \) раз. Период функции \( \sin \pi x \) будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\sin \pi(x + T) = \sin \pi x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\sin(\pi x + \pi T) = \sin \pi x;
\]
Решим уравнение \( \pi T = 2\pi \), получим:
\[
T = 2;
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \sin \pi x \) равен \( 2 \).
е) \( f(x) = \tan \pi x; \)
1. Период функции тангенса равен \( \pi \), и с коэффициентом \( \pi \) перед \( x \), основной период будет уменьшен в \( \pi \) раз. Период функции \( \tan \pi x \) будет равен:
\[
f(x + T) = f(x);
\]
Подставляем в функцию:
\[
\tan \pi(x + T) = \tan \pi x;
\]
Раскроем скобки:
\[
\tan(\pi x + \pi T) = \tan \pi x;
\]
Решим уравнение \( \pi T = \pi \), получим:
\[
T = 1;
\]
Ответ: основной период функции \( f(x) = \tan \pi x \) равен \( 1 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.