ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1317 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \);

б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \), если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \).

Доказать неравенство:

а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \);

Если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \):

\( 0 < \cos \alpha < 1; \)

Неравенство доказано.

б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \);

Если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):

\( 0 < \sin \alpha < 1; \)

\( 0 < \cos \alpha < 1; \)

\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha; \)

Неравенство доказано.

в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \);

Если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):

\( 0 < \sin \alpha < 1, \quad 0 < \cos \alpha < 1; \)

\( S = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2; \)

\( S = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha; \)

\( S = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha > 1 + 0 = 1; \)

Неравенство доказано.

г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \);

Если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \):

\( \tan \alpha > 0, \quad \cot \alpha > 0; \)

\( \tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} \geq 2; \)

\( \tan^2 \alpha — 2 \tan \alpha + 1 \geq 0; \)

\( (\tan \alpha — 1)^2 \geq 0; \)

Неравенство доказано.

Рассмотрим доказательства неравенств по порядку.

а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \);

1. В данном промежутке угол \( \alpha \) находится в четвёртой четверти координатной плоскости. В этой четверти косинус положителен, то есть \( 0 < \cos \alpha < 1 \).

2. Рассмотрим неравенство \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \). Поскольку \( \cos \alpha \) положителен и меньше 1, возводя его в квадрат, мы получаем значение, которое будет меньше самого \( \cos \alpha \). То есть, \( 0 < \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

1. В этом промежутке угол \( \alpha \) лежит в первой четверти координатной плоскости. В первой четверти синус и косинус положительны, и оба меньше 1, а тангенс определяется как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), и это выражение больше синуса, так как \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha \) для \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), поскольку косинус всегда меньше 1.

2. Таким образом, \( \tan \alpha > \sin \alpha \) в этом промежутке.

Ответ: Неравенство доказано.

в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);

1. В данном промежутке \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \) синус и косинус обе положительны, и оба меньше 1. Рассмотрим квадрат суммы:

\[
S = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2
\]

2. Раскроем скобки:

\[
S = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha
\]

3. Используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:

\[
S = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]

4. Поскольку \( 0 < \sin \alpha < 1 \) и \( 0 < \cos \alpha < 1 \), то \( \sin \alpha \cos \alpha \) всегда больше 0, и следовательно \( S > 1 \), что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \), если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \);

1. В этом промежутке угол \( \alpha \) находится в третьей четверти координатной плоскости, где тангенс и котангенс положительны. Мы знаем, что:

\[
\tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} \geq 2
\]

2. Для доказательства неравенства используем следующее:

\[
\tan^2 \alpha — 2 \tan \alpha + 1 \geq 0
\]

3. Это выражение является квадратом, и всегда неотрицательно. Следовательно, \( (\tan \alpha — 1)^2 \geq 0 \), что доказано.

Ответ: Неравенство доказано.