Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1317 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \);
б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);
в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);
г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \), если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \).
Доказать неравенство:
а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \);
Если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \):
\( 0 < \cos \alpha < 1; \)
Неравенство доказано.
б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \);
Если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):
\( 0 < \sin \alpha < 1; \)
\( 0 < \cos \alpha < 1; \)
\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha; \)
Неравенство доказано.
в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \);
Если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \):
\( 0 < \sin \alpha < 1, \quad 0 < \cos \alpha < 1; \)
\( S = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2; \)
\( S = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha; \)
\( S = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha > 1 + 0 = 1; \)
Неравенство доказано.
г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \);
Если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \):
\( \tan \alpha > 0, \quad \cot \alpha > 0; \)
\( \tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} \geq 2; \)
\( \tan^2 \alpha — 2 \tan \alpha + 1 \geq 0; \)
\( (\tan \alpha — 1)^2 \geq 0; \)
Неравенство доказано.
Рассмотрим доказательства неравенств по порядку.
а) \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), если \( 270^\circ < \alpha < 360^\circ \);
1. В данном промежутке угол \( \alpha \) находится в четвёртой четверти координатной плоскости. В этой четверти косинус положителен, то есть \( 0 < \cos \alpha < 1 \).
2. Рассмотрим неравенство \( \cos^2 \alpha < \cos \alpha \). Поскольку \( \cos \alpha \) положителен и меньше 1, возводя его в квадрат, мы получаем значение, которое будет меньше самого \( \cos \alpha \). То есть, \( 0 < \cos^2 \alpha < \cos \alpha \), что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
б) \( \tan \alpha > \sin \alpha \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);
1. В этом промежутке угол \( \alpha \) лежит в первой четверти координатной плоскости. В первой четверти синус и косинус положительны, и оба меньше 1, а тангенс определяется как \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), и это выражение больше синуса, так как \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > \sin \alpha \) для \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \), поскольку косинус всегда меньше 1.
2. Таким образом, \( \tan \alpha > \sin \alpha \) в этом промежутке.
Ответ: Неравенство доказано.
в) \( \sin \alpha + \cos \alpha > 1 \), если \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \);
1. В данном промежутке \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \) синус и косинус обе положительны, и оба меньше 1. Рассмотрим квадрат суммы:
\[
S = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2
\]
2. Раскроем скобки:
\[
S = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha
\]
3. Используя тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), получаем:
\[
S = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha
\]
4. Поскольку \( 0 < \sin \alpha < 1 \) и \( 0 < \cos \alpha < 1 \), то \( \sin \alpha \cos \alpha \) всегда больше 0, и следовательно \( S > 1 \), что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.
г) \( \tan \alpha + \cot \alpha \geq 2 \), если \( 180^\circ < \alpha < 270^\circ \);
1. В этом промежутке угол \( \alpha \) находится в третьей четверти координатной плоскости, где тангенс и котангенс положительны. Мы знаем, что:
\[
\tan \alpha + \frac{1}{\tan \alpha} \geq 2
\]
2. Для доказательства неравенства используем следующее:
\[
\tan^2 \alpha — 2 \tan \alpha + 1 \geq 0
\]
3. Это выражение является квадратом, и всегда неотрицательно. Следовательно, \( (\tan \alpha — 1)^2 \geq 0 \), что доказано.
Ответ: Неравенство доказано.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.