Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1316 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сравните:
а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15}; \)
в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ; \)
б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6}; \)
г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ. \)
Сравнить числа:
а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15}; \)
\( 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2}; \)
\( 0 < \sin \frac{\pi}{15} < 1; \)
Ответ: \( \sin^2 \frac{\pi}{15} < \sin \frac{\pi}{15}. \)
б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6}; \)
\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi; \)
\( -1 < \cos \frac{5\pi}{6} < 0; \)
Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{6} < \cos^2 \frac{5\pi}{6}. \)
в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ; \)
\( 0 < 80^\circ < 90^\circ, \quad \tan 80^\circ > 0; \)
\( 90^\circ < 140^\circ < 180^\circ; \)
\( 0 < \sin 140^\circ < 1; \)
Ответ: \( \tan 80^\circ > \tan 80^\circ \sin 140^\circ. \)
г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ; \)
\( 180^\circ < 200^\circ < 270^\circ, \quad \cot 200^\circ > 0; \)
\( 0 < 35^\circ < 90^\circ, \quad \cos 35^\circ < 1; \)
Ответ: \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ < \cot 200^\circ. \)
Рассмотрим задачу на сравнение тригонометрических выражений.
а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15} \);
1. Значение \( \frac{\pi}{15} \) лежит в промежутке \( 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2} \), то есть в первой четверти. В первой четверти синус положителен и меньше 1, поэтому:
\( 0 < \sin \frac{\pi}{15} < 1 \).
2. Так как синус функции всегда меньше 1, то квадрат синуса всегда будет меньше самого синуса, так как \( \sin^2 \alpha < \sin \alpha \) для \( 0 < \alpha < 1 \).
Ответ: \( \sin^2 \frac{\pi}{15} < \sin \frac{\pi}{15}. \)
б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6} \);
1. Значение \( \frac{5\pi}{6} \) лежит в промежутке \( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi \), то есть во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен, так как \( \cos \alpha < 0 \) для \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).
2. Косинус на данном промежутке лежит в интервале \( -1 < \cos \frac{5\pi}{6} < 0 \). Так как квадрат косинуса всегда положителен и меньше 1, то \( \cos \frac{5\pi}{6} \) по величине всегда будет меньше \( \cos^2 \frac{5\pi}{6} \).
Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{6} < \cos^2 \frac{5\pi}{6}. \)
в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ \);
1. Значение \( 80^\circ \) лежит в промежутке \( 0^\circ < 80^\circ < 90^\circ \), то есть в первой четверти, где тангенс положителен и больше 0. Следовательно, \( \tan 80^\circ > 0 \).
2. Значение \( 140^\circ \) лежит в промежутке \( 90^\circ < 140^\circ < 180^\circ \), то есть во второй четверти, где синус положителен, но меньше 1. Поэтому \( 0 < \sin 140^\circ < 1 \).
3. В результате произведения \( \tan 80^\circ \) и \( \sin 140^\circ \), получаем число меньше \( \tan 80^\circ \), так как \( 0 < \sin 140^\circ < 1 \).
Ответ: \( \tan 80^\circ > \tan 80^\circ \sin 140^\circ. \)
г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ \);
1. Значение \( 200^\circ \) лежит в промежутке \( 180^\circ < 200^\circ < 270^\circ \), то есть в третьей четверти, где котангенс положителен. Следовательно, \( \cot 200^\circ > 0 \).
2. Значение \( 35^\circ \) лежит в промежутке \( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \), то есть в первой четверти, где косинус положителен и меньше 1. Таким образом, \( 0 < \cos 35^\circ < 1 \).
3. Так как косинус \( \cos 35^\circ \) меньше 1, произведение \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) будет меньше \( \cot 200^\circ \), так как \( 0 < \cos 35^\circ < 1 \).
Ответ: \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ < \cot 200^\circ. \)
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.