ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1316 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните:

а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15}; \)

в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ; \)

б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6}; \)

г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ. \)

Сравнить числа:

а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15}; \)

\( 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2}; \)

\( 0 < \sin \frac{\pi}{15} < 1; \)

Ответ: \( \sin^2 \frac{\pi}{15} < \sin \frac{\pi}{15}. \)

б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6}; \)

\( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi; \)

\( -1 < \cos \frac{5\pi}{6} < 0; \)

Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{6} < \cos^2 \frac{5\pi}{6}. \)

в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ; \)

\( 0 < 80^\circ < 90^\circ, \quad \tan 80^\circ > 0; \)

\( 90^\circ < 140^\circ < 180^\circ; \)

\( 0 < \sin 140^\circ < 1; \)

Ответ: \( \tan 80^\circ > \tan 80^\circ \sin 140^\circ. \)

г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ; \)

\( 180^\circ < 200^\circ < 270^\circ, \quad \cot 200^\circ > 0; \)

\( 0 < 35^\circ < 90^\circ, \quad \cos 35^\circ < 1; \)

Ответ: \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ < \cot 200^\circ. \)

Рассмотрим задачу на сравнение тригонометрических выражений.

а) \( \sin^2 \frac{\pi}{15} \) и \( \sin \frac{\pi}{15} \);

1. Значение \( \frac{\pi}{15} \) лежит в промежутке \( 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2} \), то есть в первой четверти. В первой четверти синус положителен и меньше 1, поэтому:

\( 0 < \sin \frac{\pi}{15} < 1 \).

2. Так как синус функции всегда меньше 1, то квадрат синуса всегда будет меньше самого синуса, так как \( \sin^2 \alpha < \sin \alpha \) для \( 0 < \alpha < 1 \).

Ответ: \( \sin^2 \frac{\pi}{15} < \sin \frac{\pi}{15}. \)

б) \( \cos \frac{5\pi}{6} \) и \( \cos^2 \frac{5\pi}{6} \);

1. Значение \( \frac{5\pi}{6} \) лежит в промежутке \( \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi \), то есть во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен, так как \( \cos \alpha < 0 \) для \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

2. Косинус на данном промежутке лежит в интервале \( -1 < \cos \frac{5\pi}{6} < 0 \). Так как квадрат косинуса всегда положителен и меньше 1, то \( \cos \frac{5\pi}{6} \) по величине всегда будет меньше \( \cos^2 \frac{5\pi}{6} \).

Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{6} < \cos^2 \frac{5\pi}{6}. \)

в) \( \tan 80^\circ \) и \( \tan 80^\circ \sin 140^\circ \);

1. Значение \( 80^\circ \) лежит в промежутке \( 0^\circ < 80^\circ < 90^\circ \), то есть в первой четверти, где тангенс положителен и больше 0. Следовательно, \( \tan 80^\circ > 0 \).

2. Значение \( 140^\circ \) лежит в промежутке \( 90^\circ < 140^\circ < 180^\circ \), то есть во второй четверти, где синус положителен, но меньше 1. Поэтому \( 0 < \sin 140^\circ < 1 \).

3. В результате произведения \( \tan 80^\circ \) и \( \sin 140^\circ \), получаем число меньше \( \tan 80^\circ \), так как \( 0 < \sin 140^\circ < 1 \).

Ответ: \( \tan 80^\circ > \tan 80^\circ \sin 140^\circ. \)

г) \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) и \( \cot 200^\circ \);

1. Значение \( 200^\circ \) лежит в промежутке \( 180^\circ < 200^\circ < 270^\circ \), то есть в третьей четверти, где котангенс положителен. Следовательно, \( \cot 200^\circ > 0 \).

2. Значение \( 35^\circ \) лежит в промежутке \( 0^\circ < 35^\circ < 90^\circ \), то есть в первой четверти, где косинус положителен и меньше 1. Таким образом, \( 0 < \cos 35^\circ < 1 \).

3. Так как косинус \( \cos 35^\circ \) меньше 1, произведение \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ \) будет меньше \( \cot 200^\circ \), так как \( 0 < \cos 35^\circ < 1 \).

Ответ: \( \cot 200^\circ \cos 35^\circ < \cot 200^\circ. \)