ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1315 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните с нулём число:

а) \( \tan 175^\circ \);

г) \( \cot 208^\circ \);

ж) \( \tan 0.9\pi \);

к) \( \sin(-1.5\pi) \);

б) \( \sin 101^\circ \);

д) \( \sin \frac{\pi}{10} \);

з) \( \cot \frac{2\pi}{3} \);

л) \( \tan(-300^\circ) \);

в) \( \cos 355^\circ \);

е) \( \cos \frac{5\pi}{2} \);

и) \( \cos(-100^\circ) \);

м) \( \cot(-1.9\pi) \).

Сравнить с нулём число:

а) \( \tan 175^\circ \);

\( 90^\circ < 175^\circ < 180^\circ; \)

Ответ: \( \tan 175^\circ < 0 \).

б) \( \sin 101^\circ \);

\( 90^\circ < 101^\circ < 180^\circ; \)

Ответ: \( \sin 101^\circ > 0 \).

в) \( \cos 355^\circ \);

\( 270^\circ < 355^\circ < 360^\circ; \)

Ответ: \( \cos 355^\circ > 0 \).

г) \( \cot 208^\circ \);

\( 180^\circ < 208^\circ < 270^\circ; \)

Ответ: \( \cot 208^\circ > 0 \).

д) \( \sin \frac{\pi}{10} \);

\( 0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \sin \frac{\pi}{10} > 0 \).

е) \( \cos \frac{5\pi}{2} \);

\( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}; \)

Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{2} = 0 \).

ж) \( \tan 0.9\pi \);

\( 0.5\pi < 0.9\pi < \pi; \)

Ответ: \( \tan 0.9\pi < 0 \).

з) \( \cot \frac{2\pi}{3} \);

\( \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi; \)

Ответ: \( \cot \frac{2\pi}{3} < 0 \).

и) \( \cos(-100^\circ) \);

\( -180^\circ < -100^\circ < -90^\circ; \)

Ответ: \( \cos(-100^\circ) < 0 \).

к) \( \sin(-1.5\pi) \);

\( -2\pi < -1.5\pi < -\pi; \)

Ответ: \( \sin(-1.5\pi) > 0 \).

л) \( \tan(-300^\circ) \);

\( -360^\circ < -300^\circ < -270^\circ; \)

Ответ: \( \tan(-300^\circ) > 0 \).

м) \( \cot(-1.9\pi) \);

\( -2\pi < -1.9\pi < -1.5\pi; \)

Ответ: \( \cot(-1.9\pi) > 0 \).

Рассмотрим задачу на сравнение значений тригонометрических функций с нулём и определение их знаков для различных углов. Мы будем учитывать, в какой четверти плоскости находятся углы, чтобы точно определить знак каждой функции.

а) \( \tan 175^\circ \);

Значение угла \( 175^\circ \) лежит в промежутке \( 90^\circ < 175^\circ < 180^\circ \), что означает, что угол находится в второй четверти координатной плоскости. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Так как тангенс равен \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), и синус положителен, а косинус отрицателен, то тангенс будет отрицательным.

Ответ: \( \tan 175^\circ < 0 \).

б) \( \sin 101^\circ \);

Значение угла \( 101^\circ \) лежит в промежутке \( 90^\circ < 101^\circ < 180^\circ \), то есть в первой половине второй четверти. В этой части второй четверти синус положителен, так как синус функции имеет положительные значения в промежутке \( (0^\circ, 180^\circ) \). Поэтому синус будет положительным.

Ответ: \( \sin 101^\circ > 0 \).

в) \( \cos 355^\circ \);

Значение угла \( 355^\circ \) лежит в промежутке \( 270^\circ < 355^\circ < 360^\circ \), то есть в четвёртой четверти. В этой четверти косинус положителен, так как на последнем участке первого оборота косинус функции имеет положительные значения. Поэтому косинус будет положительным.

Ответ: \( \cos 355^\circ > 0 \).

г) \( \cot 208^\circ \);

Значение угла \( 208^\circ \) лежит в промежутке \( 180^\circ < 208^\circ < 270^\circ \), то есть в третьей четверти. В этой четверти синус и косинус оба отрицательны, а котангенс равен \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), то есть будет положительным, так как отрицательные значения числителя и знаменателя дают положительный результат. Следовательно, котангенс будет положительным.

Ответ: \( \cot 208^\circ > 0 \).

д) \( \sin \frac{\pi}{10} \);

Значение \( \frac{\pi}{10} \) лежит в промежутке \( 0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2} \), то есть в первой четверти. В этой четверти синус положителен, так как синус имеет положительные значения на всём промежутке от \( 0^\circ \) до \( 180^\circ \), а тем более на участке от \( 0^\circ \) до \( 90^\circ \). Следовательно, синус будет положительным.

Ответ: \( \sin \frac{\pi}{10} > 0 \).

е) \( \cos \frac{5\pi}{2} \);

Значение \( \frac{5\pi}{2} \) эквивалентно \( 2\pi + \frac{\pi}{2} \), так как мы можем добавить целое количество полных оборотов (в данном случае \( 2\pi \)) и оставшийся угол \( \frac{\pi}{2} \) будет давать тот же результат. На угле \( \frac{\pi}{2} \) косинус равен \( 0 \). Следовательно, косинус этого угла равен нулю.

Ответ: \( \cos \frac{5\pi}{2} = 0 \).

ж) \( \tan 0.9\pi \);

Значение \( 0.9\pi \) лежит в промежутке \( 0.5\pi < 0.9\pi < \pi \), то есть вторая четверть координатной плоскости. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Так как тангенс равен \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), и синус положителен, а косинус отрицателен, то тангенс будет отрицательным.

Ответ: \( \tan 0.9\pi < 0 \).

з) \( \cot \frac{2\pi}{3} \);

Значение \( \frac{2\pi}{3} \) лежит в промежутке \( \frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi \), то есть во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Так как котангенс равен \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), и косинус отрицателен, а синус положителен, котангенс будет отрицательным.

Ответ: \( \cot \frac{2\pi}{3} < 0 \).

и) \( \cos(-100^\circ) \);

Значение \( -100^\circ \) лежит в промежутке \( -180^\circ < -100^\circ < -90^\circ \), то есть в третьей четверти координатной плоскости. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, косинус будет отрицательным.

Ответ: \( \cos(-100^\circ) < 0 \).

к) \( \sin(-1.5\pi) \);

Значение \( -1.5\pi \) лежит в промежутке \( -2\pi < -1.5\pi < -\pi \), то есть в третьей четверти. В этой четверти синус положителен. Следовательно, синус будет положительным.

Ответ: \( \sin(-1.5\pi) > 0 \).

л) \( \tan(-300^\circ) \);

Значение \( -300^\circ \) лежит в промежутке \( -360^\circ < -300^\circ < -270^\circ \), то есть в четвёртой четверти. В этой четверти тангенс положителен. Следовательно, тангенс будет положительным.

Ответ: \( \tan(-300^\circ) > 0 \).

м) \( \cot(-1.9\pi) \);

Значение \( -1.9\pi \) лежит в промежутке \( -2\pi < -1.9\pi < -1.5\pi \), то есть в третьей четверти. В этой четверти котангенс положителен, так как числитель синуса и знаменатель котангенса положительны. Следовательно, котангенс будет положительным.

Ответ: \( \cot(-1.9\pi) > 0 \).