Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1311 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Координатная плоскость поворачивается около точки \( O \) на угол \( \alpha \). В какие точки перейдут точки \( A(5; 1) \), \( B(-4; 2) \), \( C(-3; -4) \) и \( D(1; -5) \), если:
а) \( \alpha = \frac{\pi}{2}; \)
б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2}; \)
в) \( \alpha = \frac{3\pi}{2}; \)
г) \( \alpha = -\frac{3\pi}{2}; \)
д) \( \alpha = \pi; \)
е) \( \alpha = -\pi? \)
В какие точки перейдут данные точки:
\( A(5; 1); B(-4; 2); C(-3; -4); D(1; -5); \)
а) \( \alpha = \frac{\pi}{2}; \)
\( A(-1; 5); B(-2; -4); C(4; -3); D(5; 1); \)
б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2}; \)
\( A(1; -5); B(2; 4); C(-4; 3); D(-5; -1); \)
в) \( \alpha = \frac{3\pi}{2}; \)
\( A(-1; 5); B(-2; -4); C(4; -3); D(5; 1); \)
г) \( \alpha = -\frac{3\pi}{2}; \)
\( A(-1; 5); B(-2; -4); C(4; -3); D(5; 1); \)
д) \( \alpha = \pi; \)
\( A(-5; -1); B(4; -2); C(3; 4); D(-1; 5); \)
е) \( \alpha = -\pi; \)
\( A(-5; -1); B(4; -2); C(3; 4); D(-1; 5); \)
Рассмотрим задачу, в которой координатная плоскость поворачивается вокруг точки \( O \) на угол \( \alpha \), и необходимо найти новые координаты точек \( A(5, 1) \), \( B(-4, 2) \), \( C(-3, -4) \) и \( D(1, -5) \) для разных углов поворота.
1. Формула поворота точки в координатной плоскости:
Для поворота на угол \( \alpha \) вокруг точки \( O(0, 0) \), новые координаты точки \( (x’, y’) \) вычисляются по следующим формулам:
\[
x’ = x \cdot \cos(\alpha) — y \cdot \sin(\alpha)
\]
\[
y’ = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)
\]
Теперь, применим эти формулы для каждого угла поворота:
а) \( \alpha = \frac{\pi}{2} \);
Поворот на \( \frac{\pi}{2} \) радиана (90 градусов) приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = -y, \quad y’ = x
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -1, \quad y’ = 5 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(-1, 5) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = -2, \quad y’ = -4 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(-2, -4) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = 4, \quad y’ = -3 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(4, -3) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = 5, \quad y’ = 1 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(5, 1) \).
Ответ: \( A'(-1, 5), B'(-2, -4), C'(4, -3), D'(5, 1) \).
б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \);
Поворот на \( -\frac{\pi}{2} \) радиана (-90 градусов) приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = y, \quad y’ = -x
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -5, \quad y’ = 1 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(1, -5) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = 2, \quad y’ = -4 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(2, 4) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = -4, \quad y’ = 3 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(-4, 3) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = -5, \quad y’ = -1 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(-5, -1) \).
Ответ: \( A'(1, -5), B'(2, 4), C'(-4, 3), D'(-5, -1) \).
в) \( \alpha = \frac{3\pi}{2} \);
Поворот на \( \frac{3\pi}{2} \) радиана (270 градусов) приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = y, \quad y’ = -x
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -1, \quad y’ = 5 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(-1, 5) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = -2, \quad y’ = -4 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(-2, -4) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = 4, \quad y’ = -3 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(4, -3) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = 5, \quad y’ = 1 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(5, 1) \).
Ответ: \( A'(-1, 5), B'(-2, -4), C'(4, -3), D'(5, 1) \).
г) \( \alpha = -\frac{3\pi}{2} \);
Поворот на \( -\frac{3\pi}{2} \) радиана (-270 градусов) аналогичен повороту на \( \frac{\pi}{2} \) радиана, то есть приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = -y, \quad y’ = x
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -1, \quad y’ = 5 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(-1, 5) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = -2, \quad y’ = -4 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(-2, -4) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = 4, \quad y’ = -3 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(4, -3) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = 5, \quad y’ = 1 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(5, 1) \).
Ответ: \( A'(-1, 5), B'(-2, -4), C'(4, -3), D'(5, 1) \).
д) \( \alpha = \pi; \)
Поворот на \( \pi \) радиана (180 градусов) приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = -x, \quad y’ = -y
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -5, \quad y’ = -1 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(-5, -1) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = 4, \quad y’ = -2 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(4, -2) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = 3, \quad y’ = 4 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(3, 4) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = -1, \quad y’ = 5 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(-1, 5) \).
Ответ: \( A'(-5, -1), B'(4, -2), C'(3, 4), D'(-1, 5) \).
е) \( \alpha = -\pi; \)
Поворот на \( -\pi \) радиана (-180 градусов) аналогичен повороту на \( \pi \) радиан, то есть приводит к следующей замене координат:
\[
x’ = -x, \quad y’ = -y
\]
Применим это к точкам:
Точка \( A(5, 1) \):
\( x’ = -5, \quad y’ = -1 \), следовательно, точка \( A \) переходит в \( A'(-5, -1) \).
Точка \( B(-4, 2) \):
\( x’ = 4, \quad y’ = -2 \), следовательно, точка \( B \) переходит в \( B'(4, -2) \).
Точка \( C(-3, -4) \):
\( x’ = 3, \quad y’ = 4 \), следовательно, точка \( C \) переходит в \( C'(3, 4) \).
Точка \( D(1, -5) \):
\( x’ = -1, \quad y’ = 5 \), следовательно, точка \( D \) переходит в \( D'(-1, 5) \).
Ответ: \( A'(-5, -1), B'(4, -2), C'(3, 4), D'(-1, 5) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.