Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1310 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
В двух арифметических прогрессиях — \((a_n)\) и \((b_n)\) — первые члены равны \( a \). Разность одной равна \(-d\), а другой \( d \). Суммы \( n \)-первых членов этих прогрессий \( S_n \) и \( S’_n \). Докажите, что \( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \frac{2a}{d(n-1)}. \)
В арифметических прогрессиях:
1) Сумма прогрессии \( a_n \):
\( S_n = \frac{2a_1 + d_a(n-1)}{2} \cdot n; \)
\( S_n = \frac{2a — dn + d}{2} \cdot n; \)
2) Сумма прогрессии \( b_n \):
\( S’_n = \frac{2b_1 + d_b(n-1)}{2} \cdot n; \)
\( S’_n = \frac{2a + dn — d}{2} \cdot n; \)
3) Докажем равенство:
\( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \left( \frac{2dn — 2d}{2} \cdot n \right) : \left( \frac{4a}{2} \cdot n \right); \)
\( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \frac{n \cdot (dn — d)}{n \cdot 2a} = \frac{d(n-1)}{2a}; \)
Равенство не выполняется.
Дано две арифметические прогрессии \((a_n)\) и \((b_n)\), у которых первые члены равны \( a \), разность одной прогрессии равна \( -d \), а другой \( d \). Необходимо доказать, что:
\( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \frac{2a}{d(n-1)} \).
1. Сначала выразим суммы \( n \)-первых членов обеих прогрессий.
Для прогрессии \( (a_n) \), где разность равна \( -d \), сумма \( S_n \) первых \( n \) членов определяется формулой:
\( S_n = \frac{2a_1 + d_a(n-1)}{2} \cdot n \), где \( a_1 = a \), \( d_a = -d \).
Таким образом, для \( S_n \) получаем:
\( S_n = \frac{2a — dn + d}{2} \cdot n = \frac{2a — dn + d}{2} \cdot n. \)
Для прогрессии \( (b_n) \), где разность равна \( d \), сумма \( S’_n \) первых \( n \) членов определяется формулой:
\( S’_n = \frac{2b_1 + d_b(n-1)}{2} \cdot n \), где \( b_1 = a \), \( d_b = d \).
Таким образом, для \( S’_n \) получаем:
\( S’_n = \frac{2a + dn — d}{2} \cdot n. \)
2. Теперь найдем разницу и сумму этих двух сумм:
Разность \( S’_n — S_n \):
\( S’_n — S_n = \left( \frac{2a + dn — d}{2} \cdot n \right) — \left( \frac{2a — dn + d}{2} \cdot n \right) =\)
\(\frac{2a + dn — d — 2a + dn — d}{2} \cdot n \).
Упростим:
\( S’_n — S_n = \frac{2dn — 2d}{2} \cdot n = dn — d. \)
Сумма \( S’_n + S_n \):
\( S’_n + S_n = \left( \frac{2a + dn — d}{2} \cdot n \right) + \left( \frac{2a — dn + d}{2} \cdot n \right) =\)
\(\frac{2a + dn — d + 2a — dn + d}{2} \cdot n \).
Упростим:
\( S’_n + S_n = \frac{4a}{2} \cdot n = 2a \cdot n. \)
3. Теперь вычислим \( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} \):
\( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \frac{dn — d}{2an} = \frac{d(n — 1)}{2an}. \)
4. Сравним это выражение с выражением, которое нужно доказать:
Необходимо доказать, что:
\( \frac{S’_n — S_n}{S’_n + S_n} = \frac{2a}{d(n — 1)} \).
Очевидно, что результат не совпадает с требуемым выражением. Полученная формула:
\( \frac{d(n — 1)}{2an} \) не равна \( \frac{2a}{d(n — 1)} \), что доказывает, что равенство не выполняется.
Ответ: Равенство не выполняется.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.