Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1309 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \sqrt{x^2 — 4x + 4} + \sqrt[4]{(x — 4)^4}, \) где \( x \leq 2; \)
б) \( \sqrt{-x^3 + 2x^2y — xy^2 + 2x^2 — 4xy + 2y^2}, \) где \( y \leq x \leq 2. \)
Упростить выражение:
а) \( \sqrt{x^2 — 4x + 4} + \sqrt[4]{(x — 4)^4} =\)
\(\sqrt{(x — 2)^2} + \sqrt[4]{(x — 4)^4} = \)
\( = |x — 2| + |x — 4| = 2 — x + 4 — x = 6 — 2x, \) где \( x \leq 2; \)
б) \( \sqrt{-x^3 + 2x^2y — xy^2 + 2x^2 — 4xy + 2y^2} = \)
\( = \sqrt{-x(x^2 — 2xy + y^2) + 2(x^2 — 2xy + y^2)} = \)
\( = \sqrt{(2 — x)(x — y)^2} = |x — y|\sqrt{2 — x} = \)
\( = (x — y)\sqrt{2 — x}, \) где \( y \leq x \leq 2; \)
Рассмотрим данное выражение:
а) \( \sqrt{x^2 — 4x + 4} + \sqrt[4]{(x — 4)^4}, \) где \( x \leq 2; \)
1. Начнем с того, что упростим выражение под первым корнем. Заметим, что \( x^2 — 4x + 4 \) — это полный квадрат:
\( x^2 — 4x + 4 = (x — 2)^2 \), и таким образом, \( \sqrt{x^2 — 4x + 4} = \sqrt{(x — 2)^2} = |x — 2| \).
2. Далее упростим второй корень. \( \sqrt[4]{(x — 4)^4} \) — это выражение в четвёртой степени, которое можно упростить до:
\( \sqrt[4]{(x — 4)^4} = |x — 4| \), так как четвёртая степень имеет абсолютное значение.
3. Теперь объединяем два упрощённых выражения:
\( |x — 2| + |x — 4| \).
4. Поскольку нам дано, что \( x \leq 2 \), то оба выражения внутри модулей будут отрицательными, и мы получим:
\( |x — 2| = 2 — x \) и \( |x — 4| = 4 — x \).
Таким образом, выражение будет равно:
\( 2 — x + 4 — x = 6 — 2x \).
Ответ: \( 6 — 2x \), где \( x \leq 2; \)
б) \( \sqrt{-x^3 + 2x^2y — xy^2 + 2x^2 — 4xy + 2y^2}, \) где \( y \leq x \leq 2; \)
1. Начнем с того, что упростим выражение под корнем. Перепишем выражение как:
\( -x^3 + 2x^2y — xy^2 + 2x^2 — 4xy + 2y^2 \).
2. Группируем похожие члены, чтобы выделить общий множитель. Собираем все члены, содержащие \( x^2 \) и \( xy \), получаем:
\( -x(x^2 — 2xy + y^2) + 2(x^2 — 2xy + y^2) \).
3. Теперь видим, что оба выражения имеют общий множитель \( (x^2 — 2xy + y^2) \), и можно выделить этот множитель:
\( = \sqrt{(2 — x)(x — y)^2} \).
4. Далее, извлекаем квадратный корень из выражения. Поскольку \( (x — y)^2 \) — это полный квадрат, мы получаем:
\( = |x — y|\sqrt{2 — x} \).
5. Таким образом, окончательное упрощение выражения будет равно:
\( = (x — y)\sqrt{2 — x}, \) где \( y \leq x \leq 2; \)
Ответ:
а) \( 6 — 2x \), где \( x \leq 2; \)
б) \( (x — y)\sqrt{2 — x}, \) где \( y \leq x \leq 2; \)
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.