Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1308 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \sin(a — b) + \cos(a — b) — \sin(b — a) + \cos(b — a); \)
б) \( \tan(x — y) + \cot(x — y) + \tan(y — x) + \cot(y — x); \)
в) \( \sin(2\pi — x + y) — \sin(2\pi + x — y); \)
г) \( \tan(x — y + 3\pi) — \tan(y — x — 3\pi). \)
Упростить выражение:
а) \( \sin(a — b) + \cos(a — b) -\)
\(\sin(b — a) + \cos(b — a) = \)
\( = \sin(a — b) + \cos(a — b) +\)
\(\sin(a — b) + \cos(a — b) = \)
\( = 2(\sin(a — b) + \cos(a — b)); \)
б) \( \tan(x — y) + \cot(x — y) +\)
\(\tan(y — x) + \cot(y — x) = \)
\( = \tan(x — y) + \cot(x — y) -\)
\(\tan(x — y) — \cot(x — y) = 0; \)
в) \( \sin(2\pi — x + y) -\)
\(\sin(2\pi + x — y) = \)
\( = \sin(y — x) — \sin(x — y) = \)
\( = \sin(y — x) +\)
\(\sin(y — x) = 2\sin(y — x); \)
г) \( \tan(x — y + 3\pi) -\)
\(\tan(y — x — 3\pi) = \)
\( = \tan(x — y) — \tan(y — x) = \)
\( = \tan(x — y) +\)
\(\tan(x — y) = 2\tan(x — y); \)
Рассмотрим данное выражение:
а) \( \sin(a — b) + \cos(a — b) -\)
\(\sin(b — a) + \cos(b — a) \);
Для начала используем свойства синуса и косинуса: синус — нечётная функция, а косинус — чётная функция. То есть \( \sin(b — a) = -\sin(a — b) \) и \( \cos(b — a) = \cos(a — b) \). Таким образом, выражение можно переписать так:
\( \sin(a — b) + \cos(a — b) -\)
\((-\sin(a — b)) + \cos(a — b) \).
Теперь сгруппируем похожие члены:
\( \sin(a — b) + \sin(a — b) + \cos(a — b) +\)
\(\cos(a — b) = 2\sin(a — b) + 2\cos(a — b) \).
Итак, результат упрощения:
\( = 2(\sin(a — b) + \cos(a — b)) \).
б) \( \tan(x — y) + \cot(x — y) +\)
\(\tan(y — x) + \cot(y — x) \);
Мы знаем, что \( \tan(y — x) =\)
\(-\tan(x — y) \) и \( \cot(y — x) =\)
\(-\cot(x — y) \), так как тангенс и котангенс — нечётные функции. Таким образом, выражение можно переписать так:
\( \tan(x — y) + \cot(x — y) -\)
\(\tan(x — y) — \cot(x — y) \).
Теперь видим, что все члены взаимно уничтожаются:
\( = 0 \).
в) \( \sin(2\pi — x + y) -\)
\(\sin(2\pi + x — y) \);
Используем периодичность синуса: \( \sin(2\pi + z) =\)
\(\sin(z) \) и \( \sin(2\pi — z) = -\sin(z) \). Таким образом:
\( \sin(2\pi — x + y) — \sin(2\pi + x — y) =\)
\(\sin(y — x) — \sin(x — y) \).
Преобразуем разницу синусов, используя формулу для разности синусов: \( \sin(A) — \sin(B) = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right) \). Здесь \( A = y — x \), а \( B = x — y \), и результатом будет:
\( = 2\sin(y — x) \).
г) \( \tan(x — y + 3\pi) -\)
\(\tan(y — x — 3\pi) \);
Используем периодичность тангенса: \( \tan(z + 3\pi) = \tan(z) \), так как тангенс имеет период \( \pi \). Таким образом:
\( \tan(x — y + 3\pi) — \tan(y — x — 3\pi) =\)
\(\tan(x — y) — \tan(y — x) \).
Преобразуем разницу тангенсов с использованием свойств тангенса: \( \tan(A) — \tan(B) = \tan(A + B) \), и результатом будет:
\( = 2\tan(x — y) \).
Краткий ответ:
а) \( \sin(a — b) + \cos(a — b) — \sin(b — a) +\)
\(\cos(b — a) = 2(\sin(a — b) + \cos(a — b)) \);
б) \( \tan(x — y) + \cot(x — y) +\)
\(\tan(y — x) + \cot(y — x) = 0 \);
в) \( \sin(2\pi — x + y) -\)
\(\sin(2\pi + x — y) = 2\sin(y — x) \);
г) \( \tan(x — y + 3\pi) -\)
\(\tan(y — x — 3\pi) = 2\tan(x — y) \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.