ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1307 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( \sin(-405^\circ) + \cos 750^\circ; \)

в) \( \sin 2.5\pi + \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right); \)

б) \( \cos(-780^\circ) — \tan(-225^\circ); \)

г) \( \tan\left(-\frac{7}{3}\pi\right) — \cot\left(\frac{10}{3}\pi\right). \)

Найдите значение выражения:

а) \( \sin(-405^\circ) + \cos(750^\circ) = \sin(-45^\circ) +\)

\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{2}; \)

б) \( \cos(-780^\circ) — \tan(-225^\circ) = \cos(-60^\circ) -\)

\(\tan(-45^\circ) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}; \)

в) \( \sin 2.5\pi + \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right) =\)

\(\sin \frac{\pi}{2} + \cot \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2; \)

г) \( \tan\left(-\frac{7}{3}\pi\right) — \cot\left(\frac{10}{3}\pi\right) =\)

\(\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) — \cot \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{4\sqrt{3}}{3}; \)

Рассмотрим данное выражение:

а) \( \sin(-405^\circ) + \cos(750^\circ) \);

Для вычисления значения выражения, сначала нужно привести углы к стандартному диапазону от \(0^\circ\) до \(360^\circ\). Мы используем периодичность тригонометрических функций, так как синус и косинус имеют период \(360^\circ\). Таким образом:

\( -405^\circ + 360^\circ = -45^\circ \) и \( 750^\circ — 2 \cdot 360^\circ = 750^\circ — 720^\circ = 30^\circ \).

Теперь вычисляем значения функций:

\( \sin(-45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) (так как синус нечётная функция), и \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), следовательно:

\( \sin(-405^\circ) + \cos(750^\circ) = \sin(-45^\circ) + \cos(30^\circ) =\)

\(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{2} \).

б) \( \cos(-780^\circ) — \tan(-225^\circ) \);

Сначала приводим углы к стандартному диапазону:

\( -780^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -780^\circ + 720^\circ = -60^\circ \) и \( -225^\circ + 360^\circ = 135^\circ \).

Теперь вычисляем значения функций:

\( \cos(-60^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), так как косинус является чётной функцией, и \( \tan(-225^\circ) = \tan(135^\circ) = -1 \), так как тангенс нечётная функция, и \( \tan(135^\circ) = -1 \). Следовательно:

\( \cos(-780^\circ) — \tan(-225^\circ) = \frac{1}{2} -\)

\( (-1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).

в) \( \sin(2.5\pi) + \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right) \);

Сначала приводим углы к стандартному диапазону:

\( 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} \), и \( \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = -\cot\left(\frac{3}{4}\pi\right) \).

Значение \( \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \), так как синус имеет период \(2\pi\), и \( \cot\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \), следовательно:

\( \sin(2.5\pi) + \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = 1 + 1 = 2 \).

г) \( \tan\left(-\frac{7}{3}\pi\right) — \cot\left(\frac{10}{3}\pi\right) \);

Сначала приводим углы к стандартному диапазону:

\( -\frac{7}{3}\pi + 2\pi = -\frac{7}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi =\)

\(-\frac{\pi}{3} \) и \( \frac{10}{3}\pi — 3\pi = \frac{10}{3}\pi — \frac{9}{3}\pi = \frac{\pi}{3} \).

Теперь вычисляем значения функций:

\( \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \) (так как тангенс нечётная функция), и \( \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), следовательно:

\( \tan\left(-\frac{7}{3}\pi\right) — \cot\left(\frac{10}{3}\pi\right) =\)

\( -\sqrt{3} — \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} — \frac{1\sqrt{3}}{3} = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \).

Краткий ответ:

а) \( \sin(-405^\circ) + \cos(750^\circ) = \frac{\sqrt{3} — \sqrt{2}}{2} \);

б) \( \cos(-780^\circ) — \tan(-225^\circ) = \frac{3}{2} \);

в) \( \sin(2.5\pi) + \cot\left(-\frac{3}{4}\pi\right) = 2 \);

г) \( \tan\left(-\frac{7}{3}\pi\right) — \cot\left(\frac{10}{3}\pi\right) = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \).