Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1303 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значения \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \) и \( \cot \alpha \), если:
а) \( \alpha = 420^\circ \);
в) \( \alpha = -660^\circ \);
д) \( \alpha = \frac{9\pi}{4} \);
б) \( \alpha = 2130^\circ \);
г) \( \alpha = -1035^\circ \);
е) \( \alpha = -\frac{23\pi}{6} \).
Найдите значения функций:
а) \( \alpha = 420^\circ = 360^\circ + 60^\circ; \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \, \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}; \)
б) \( \alpha = 2130^\circ = 6 \cdot 360^\circ — 30^\circ; \)
\( \sin \alpha = -\frac{1}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cot \alpha = -\sqrt{3}; \)
в) \( \alpha = -660^\circ = -2 \cdot 360^\circ + 60^\circ; \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \, \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}; \)
г) \( \alpha = -1035^\circ = -3 \cdot 360^\circ + 45^\circ; \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \tan \alpha = 1; \)
д) \( \alpha = \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}; \)
\( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \tan \alpha = 1; \)
е) \( \alpha = -\frac{23\pi}{6} = -2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6}; \)
\( \sin \alpha = \frac{1}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cot \alpha = \sqrt{3}; \)
Задана задача:
Найдите значения \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \) и \( \cot \alpha \), если:
a) \( \alpha = 420^\circ \);
b) \( \alpha = 2130^\circ \);
c) \( \alpha = -660^\circ \);
d) \( \alpha = \frac{9\pi}{4} \);
e) \( \alpha = -1035^\circ \);
f) \( \alpha = -\frac{23\pi}{6} \);
Решение:
Мы будем использовать стандартное положение угла, приводя его к диапазону от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \) для углов в градусах или от \( 0 \) до \( 2\pi \) для углов в радианах, путем применения периодичности тригонометрических функций.
Также мы будем использовать известные значения тригонометрических функций для стандартных углов:
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \, \cot 30^\circ = \sqrt{3} \);
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \tan 45^\circ = 1, \, \cot 45^\circ = 1 \);
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \, \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \, \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \);
\( \sin 90^\circ = 1, \, \cos 90^\circ = 0, \, \tan 90^\circ = \text{undefined}, \, \cot 90^\circ = 0 \);
\( \sin 180^\circ = 0, \, \cos 180^\circ = -1, \, \tan 180^\circ = 0, \, \cot 180^\circ = \text{undefined} \);
\( \sin 270^\circ = -1, \, \cos 270^\circ = 0, \, \tan 270^\circ = \text{undefined}, \, \cot 270^\circ = 0 \);
\( \sin 360^\circ = 0, \, \cos 360^\circ = 1, \, \tan 360^\circ = 0, \, \cot 360^\circ = \text{undefined} \).
a) \( \alpha = 420^\circ \)
1. Приведем угол \( \alpha = 420^\circ \) в стандартное положение. Мы можем вычесть \( 360^\circ \), чтобы получить угол в диапазоне от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \):
\( 420^\circ = 360^\circ + 60^\circ \), то есть угол \( \alpha = 60^\circ \).
2. Теперь вычислим тригонометрические функции для угла \( 60^\circ \):
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \);
\( \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \, \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
б) \( \alpha = 2130^\circ \)
1. Приведем угол \( \alpha = 2130^\circ \) в стандартное положение. Для этого вычитаем несколько полных оборотов (по \( 360^\circ \)):
\( 2130^\circ = 6 \cdot 360^\circ — 30^\circ \), то есть угол \( \alpha = -30^\circ \).
2. С помощью симметрии на круге определим тригонометрические функции для угла \( 330^\circ \) (так как угол \( -30^\circ \) симметричен уголку \( 330^\circ \)):
\( \sin 330^\circ = -\frac{1}{2} \);
\( \cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cot 330^\circ = -\sqrt{3} \).
Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{1}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cot \alpha = -\sqrt{3} \).
в) \( \alpha = -660^\circ \)
1. Приведем угол \( \alpha = -660^\circ \) в стандартное положение, вычитая несколько полных оборотов:
\( -660^\circ = -2 \cdot 360^\circ + 60^\circ \), то есть угол \( \alpha = 60^\circ \).
2. Рассчитаем тригонометрические функции для угла \( 60^\circ \):
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \);
\( \cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \, \cot \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
г) \( \alpha = \frac{9\pi}{4} \)
1. Приведем угол \( \alpha = \frac{9\pi}{4} \) в стандартное положение, вычитая \( 2\pi \):
\( \frac{9\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} \), то есть угол \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).
2. Рассчитаем тригонометрические функции для угла \( \frac{\pi}{4} \):
\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \);
\( \cot \frac{\pi}{4} = 1 \).
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \tan \alpha = 1 \).
д) \( \alpha = -1035^\circ \)
1. Приведем угол \( \alpha = -1035^\circ \) в стандартное положение, вычитая несколько полных оборотов:
\( -1035^\circ = -3 \cdot 360^\circ + 45^\circ \), то есть угол \( \alpha = 45^\circ \).
2. Рассчитаем тригонометрические функции для угла \( 45^\circ \):
\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \);
\( \tan 45^\circ = 1 \);
\( \cot 45^\circ = 1 \).
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \tan \alpha = 1 \).
е) \( \alpha = -\frac{23\pi}{6} \)
1. Приведем угол \( \alpha = -\frac{23\pi}{6} \) в стандартное положение:
\( -\frac{23\pi}{6} = -2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6} \), то есть угол \( \alpha = \frac{\pi}{6} \).
2. Рассчитаем тригонометрические функции для угла \( \frac{\pi}{6} \):
\( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \);
\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \).
Ответ: \( \sin \alpha = \frac{1}{2}, \, \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \cot \alpha = \sqrt{3} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.