ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1302 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Фермер и его сын выполнили некоторую работу за 6 ч. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить эту работу, если сын затратил бы на неё на 5 ч больше, чем отец?

Зададим переменные:

\( x \) ч — требуется фермеру;

\( y \) ч — требуется его сыну;

1) Из первого уравнения:

\( y — x = 5, \quad y = x + 5; \)

2) Из второго уравнения:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1, \quad 6y + 6x = xy; \)

\( 6(x + 5) + 6x = x(x + 5); \)

\( 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x; \)

\( x^2 — 7x — 30 = 0; \)

\( D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169, \) тогда:

\( x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10; \)

\( y_1 = -3 + 5 = 2 \) и \( y_2 = 10 + 5 = 15; \)

Ответ: 10 ч и 15 ч.

Задана задача:

Фермер и его сын выполнили некоторую работу за 6 ч. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить эту работу, если сын затратил бы на неё на 5 ч больше, чем отец?

Решение:

1. Обозначим количество часов, которые фермеру требуется для выполнения работы, как \( x \), а количество часов, которые требуется его сыну, как \( y \). Мы знаем, что сын затратил на работу на 5 часов больше, чем фермер, т.е. \( y = x + 5 \).

2. Также известно, что они выполнили работу за 6 часов вместе. Скорость работы каждого из них можно выразить через отношение работы (1) к времени, затраченному на выполнение работы. Таким образом, из второго уравнения получаем следующее соотношение:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \), что можно интерпретировать как то, что за 6 часов они выполнили всю работу совместно.

3. Подставим \( y = x + 5 \) в это уравнение:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{x + 5} = 1 \)

4. Умножим обе части уравнения на \( x(x + 5) \), чтобы избавиться от дробей:

\( 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) \)

5. Раскроем скобки и упростим:

\( 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x \)

\( 12x + 30 = x^2 + 5x \)

6. Переносим все члены в одну сторону:

\( x^2 — 7x — 30 = 0 \)

7. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \)

8. Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 13}{2} = -3 \)

\( x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = 10 \)

9. Поскольку время не может быть отрицательным, мы выбираем \( x_2 = 10 \) ч как правильное решение для фермеров.

10. Теперь находим \( y \), подставив \( x = 10 \) в выражение \( y = x + 5 \):

\( y = 10 + 5 = 15 \) ч

Ответ: Фермер может выполнить работу за 10 часов, а сын — за 15 часов.