ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1298 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Возможно ли, чтобы при каком-нибудь значении \( a \) было верным равенство:

а) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);

в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);

б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);

г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)?

Может ли выполняться:

а) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);

\( 0 < a^2 + 1 < 1; \)

\( a^2 < 0 \) a E Ø;

Ответ: нет.

б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);

\( -1 < a^2 — 1 < 0; \)

\( a^2 < 1, \quad |a| < 1; \)

Ответ: да.

в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);

\( -1 < \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} < 0; \)

\( -\frac{3}{2} < \frac{1}{3}a^2 < -\frac{1}{2}; \)

\( a^2 < -\frac{3}{2} \) a E Ø;

Ответ: нет.

г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \);

\( -1 < \frac{1}{(a-1)(a+1)} < 0; \)

\( -1 < \frac{1}{a^2 — 1} < 0; \)

\( a^2 — 1 < 0, \quad a^2 < 1; \)

\( 1 — a^2 > 1, \quad a^2 < 0; \)

Ответ: нет.

Задана задача:

Возможно ли, чтобы при каком-нибудь значении \( a \) было верным равенство:

• a) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);
• b) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);
• c) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);
• d) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \);

a) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \)

1. Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то есть значение синуса при \( \frac{\pi}{4} \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).

2. Следовательно, выражение \( a^2 + 1 \) должно быть равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), но заметим, что \( a^2 + 1 \geq 1 \) всегда, так как \( a^2 \geq 0 \). Это противоречит значению \( \sin \frac{\pi}{4} \), которое меньше 1.

3. Таким образом, для \( a^2 + 1 \) быть равным \( \sin \frac{\pi}{4} \), это невозможно, потому что левая часть выражения всегда больше или равна 1, а правая часть меньше 1.

Ответ: нет.

б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \)

1. Рассмотрим, чему равен \( \cos \frac{6\pi}{5} \). Угол \( \frac{6\pi}{5} \) лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций можно найти, что \( \cos \frac{6\pi}{5} \approx -0.809 \).

2. Таким образом, выражение \( a^2 — 1 \) должно быть равно \( -0.809 \), что возможно при некотором значении \( a \). Преобразуем это уравнение:

\( a^2 — 1 = -0.809 \) ⇒ \( a^2 = 0.191 \) ⇒ \( a \approx \pm 0.437 \).

3. Поскольку \( a^2 \) может быть меньше 1, это значение допустимо. Таким образом, решение существует.

Ответ: да.

в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \)

1. Рассмотрим, чему равен \( \sin \frac{7\pi}{6} \). Угол \( \frac{7\pi}{6} \) находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).

2. Подставим это значение в выражение:

\( -\frac{1}{2} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \)

3. Вычитаем \( \frac{1}{2} \) с обеих сторон:

\( -1 = \frac{1}{3}a^2 \)

4. Умножим обе части на 3:

\( -3 = a^2 \)

5. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.

Ответ: нет.

г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)

1. Рассмотрим, чему равен \( \cos \frac{4\pi}{5} \). Угол \( \frac{4\pi}{5} \) находится в второй четверти, где косинус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций \( \cos \frac{4\pi}{5} \approx -0.809 \).

2. Подставим это значение в выражение:

\( -0.809 = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)

3. Заметим, что \( (a-1)(a+1) = a^2 — 1 \), тогда у нас получается:

\( -0.809 = \frac{1}{a^2 — 1} \)

4. Перепишем уравнение:

\( a^2 — 1 = \frac{1}{-0.809} \approx -1.236 \)

5. Решим это уравнение:

\( a^2 = -1.236 + 1 = -0.236 \)

6. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.

Ответ: нет.