Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1298 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Возможно ли, чтобы при каком-нибудь значении \( a \) было верным равенство:
а) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);
в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);
б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);
г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)?
Может ли выполняться:
а) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);
\( 0 < a^2 + 1 < 1; \)
\( a^2 < 0 \) a E Ø;
Ответ: нет.
б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);
\( -1 < a^2 — 1 < 0; \)
\( a^2 < 1, \quad |a| < 1; \)
Ответ: да.
в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);
\( -1 < \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} < 0; \)
\( -\frac{3}{2} < \frac{1}{3}a^2 < -\frac{1}{2}; \)
\( a^2 < -\frac{3}{2} \) a E Ø;
Ответ: нет.
г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \);
\( -1 < \frac{1}{(a-1)(a+1)} < 0; \)
\( -1 < \frac{1}{a^2 — 1} < 0; \)
\( a^2 — 1 < 0, \quad a^2 < 1; \)
\( 1 — a^2 > 1, \quad a^2 < 0; \)
Ответ: нет.
Задана задача:
Возможно ли, чтобы при каком-нибудь значении \( a \) было верным равенство:
- a) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \);
- b) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \);
- c) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \);
- d) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \);
a) \( \sin \frac{\pi}{4} = a^2 + 1 \)
1. Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то есть значение синуса при \( \frac{\pi}{4} \) равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).
2. Следовательно, выражение \( a^2 + 1 \) должно быть равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), но заметим, что \( a^2 + 1 \geq 1 \) всегда, так как \( a^2 \geq 0 \). Это противоречит значению \( \sin \frac{\pi}{4} \), которое меньше 1.
3. Таким образом, для \( a^2 + 1 \) быть равным \( \sin \frac{\pi}{4} \), это невозможно, потому что левая часть выражения всегда больше или равна 1, а правая часть меньше 1.
Ответ: нет.
б) \( \cos \frac{6\pi}{5} = a^2 — 1 \)
1. Рассмотрим, чему равен \( \cos \frac{6\pi}{5} \). Угол \( \frac{6\pi}{5} \) лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций можно найти, что \( \cos \frac{6\pi}{5} \approx -0.809 \).
2. Таким образом, выражение \( a^2 — 1 \) должно быть равно \( -0.809 \), что возможно при некотором значении \( a \). Преобразуем это уравнение:
\( a^2 — 1 = -0.809 \) ⇒ \( a^2 = 0.191 \) ⇒ \( a \approx \pm 0.437 \).
3. Поскольку \( a^2 \) может быть меньше 1, это значение допустимо. Таким образом, решение существует.
Ответ: да.
в) \( \sin \frac{7\pi}{6} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \)
1. Рассмотрим, чему равен \( \sin \frac{7\pi}{6} \). Угол \( \frac{7\pi}{6} \) находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций \( \sin \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
2. Подставим это значение в выражение:
\( -\frac{1}{2} = \frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{2} \)
3. Вычитаем \( \frac{1}{2} \) с обеих сторон:
\( -1 = \frac{1}{3}a^2 \)
4. Умножим обе части на 3:
\( -3 = a^2 \)
5. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.
Ответ: нет.
г) \( \cos \frac{4\pi}{5} = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)
1. Рассмотрим, чему равен \( \cos \frac{4\pi}{5} \). Угол \( \frac{4\pi}{5} \) находится в второй четверти, где косинус отрицателен. Из таблицы тригонометрических функций \( \cos \frac{4\pi}{5} \approx -0.809 \).
2. Подставим это значение в выражение:
\( -0.809 = \frac{1}{(a-1)(a+1)} \)
3. Заметим, что \( (a-1)(a+1) = a^2 — 1 \), тогда у нас получается:
\( -0.809 = \frac{1}{a^2 — 1} \)
4. Перепишем уравнение:
\( a^2 — 1 = \frac{1}{-0.809} \approx -1.236 \)
5. Решим это уравнение:
\( a^2 = -1.236 + 1 = -0.236 \)
6. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений.
Ответ: нет.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.