ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1296 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

а) \( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \tan^2 30^\circ}; \)

б) \( \sqrt{\tan^2 \frac{\pi}{3} — 2 \frac{3}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4} + 2}. \)

Найдите значение выражения:

а) \( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \tan^2 30^\circ} = \)

\( = \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} + \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} = \)

\( = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{5}{4} — 1} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \)

\( = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 1.5 + 0.5 = 2; \)

б) \( \sqrt{\tan^2 \frac{\pi}{3} — 2 \frac{3}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4} + 2} = \)

\( = \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^2 — \frac{11}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + 2} = \)

\( = \sqrt{3 — \frac{11}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{12}{4} — \frac{11}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{9}{4}} = \)

\( = \sqrt{\frac{1}{4}} — \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2}; \)

Задана задача:

Чему равно значение выражения:

a) \( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \tan^2 30^\circ}; \)

b) \( \sqrt{\tan^2 \frac{\pi}{3} — 2 \frac{3}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4} + 2}. \)

a) \( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cos^2 30^\circ} + \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \tan^2 30^\circ} \)

1. Рассмотрим первое выражение \( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cos^2 30^\circ} \):

\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому \( \cos^2 30^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4} \);

2. Подставим значение \( \cos^2 30^\circ \) в выражение:

\( \sqrt{\frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{6}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \)

Теперь рассмотрим второе выражение \( \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \tan^2 30^\circ} \):

\( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \), поэтому \( \tan^2 30^\circ = \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \);

3. Подставим значение \( \tan^2 30^\circ \) в выражение:

\( \sqrt{\frac{5}{4} — 3 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{5}{4} — 1} = \sqrt{\frac{5}{4} — \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

4. Сложим результаты из первого и второго выражений:

\( \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \)

Ответ: 2.

б) \( \sqrt{\tan^2 \frac{\pi}{3} — 2 \frac{3}{4}} — \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4} + 2} \)

1. Рассмотрим первое выражение \( \sqrt{\tan^2 \frac{\pi}{3} — 2 \cdot \frac{3}{4}} \):

\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \), поэтому \( \tan^2 \frac{\pi}{3} = (\sqrt{3})^2 = 3 \);

2. Подставим значение \( \tan^2 \frac{\pi}{3} \) в выражение:

\( \sqrt{3 — 2 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{3 — \frac{6}{4}} = \sqrt{3 — \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{6}{2} — \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \)

Теперь рассмотрим второе выражение \( \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4} + 2} \):

\( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому \( \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \);

3. Подставим значение \( \sin^2 \frac{\pi}{4} \) в выражение:

\( \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{8}{4}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 \)

4. Теперь вычтем второе выражение из первого:

\( \frac{\sqrt{6}}{2} — 1 \)

5. Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{\sqrt{6}}{2} — 1 = \frac{\sqrt{6}}{2} — \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{6} — 2}{2} \)

Ответ: \( — \frac{1}{2} \).