Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1295 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \( 2 \tan 30^\circ \cot 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \tan 60^\circ; \)
б) \( \frac{\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\tan \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{3}}. \)
Найдите значение выражения:
а) \( 2 \tan 30^\circ \cot 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \tan 60^\circ = \)
\( = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} + 3 = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}; \)
б) \( \frac{\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\tan \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{3}} = \)
\( = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}} = \)
\( = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}} — \frac{3}{\frac{1 — \sqrt{3}}{2}} = \)
\( = \frac{\sqrt{3}(1 — \sqrt{3})}{2(\sqrt{3} + 1)(1 — \sqrt{3})} — \frac{6}{1 — \sqrt{3}} = \)
\( = \frac{\sqrt{3} — 3}{2(-2)} — \frac{6}{1 — \sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3} + 3}{4} — \frac{6}{1 — \sqrt{3}} = \)
\( = \frac{3 — \sqrt{3}}{4} — \frac{6(1 + \sqrt{3})}{(1 — \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \)
\( = \frac{3 — \sqrt{3}}{4} — \frac{6 + 6\sqrt{3}}{-2} = \frac{3 — \sqrt{3}}{4} + \frac{3 + 3\sqrt{3}}{1} = \)
\( = \frac{3 — \sqrt{3}}{4} + \frac{12 + 12\sqrt{3}}{4} = \frac{15 + 11\sqrt{3}}{4}. \)
Задана задача:
Найдите значение выражения:
a) \( 2 \tan 30^\circ \cot 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \tan 60^\circ; \)
b) \( \frac{\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\tan \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{3}}; \)
a) \( 2 \tan 30^\circ \cot 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ + \sqrt{3} \tan 60^\circ \)
1. Начнем с подстановки значений тригонометрических функций:
\( \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \);
\( \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} \);
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \);
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).
2. Подставим эти значения в выражение:
\( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \)
3. Упростим числовые выражения:
\( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \);
Следовательно, выражение становится:
\( \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + 3 = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{12} + 3 = \frac{\sqrt{3}}{6} + 3 \)
Ответ: \( 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \).
б) \( \frac{\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}} — \frac{\tan \frac{\pi}{3} \cot \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{3}} \)
1. Подставим значения тригонометрических функций:
\( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \);
\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \);
\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \);
\( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \).
2. Подставим эти значения в выражение:
\( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} — \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2}} \)
3. Упростим числитель и знаменатель каждого выражения:
Числитель первого выражения: \( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \);
Знаменатель первого выражения: \( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \);
Таким образом, первый член выражения упрощается до:
\( \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}(1 — \sqrt{3})}{2(\sqrt{3} + 1)(1 — \sqrt{3})} \)
Числитель второго выражения: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \);
Знаменатель второго выражения: \( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \);
Таким образом, второй член упрощается до:
\( \frac{3}{\frac{1 — \sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{1 — \sqrt{3}} \)
4. Поставим полученные значения в итоговое выражение:
\( \frac{\sqrt{3} — 3}{2(-2)} — \frac{6}{1 — \sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3} + 3}{4} + \frac{3 + 3\sqrt{3}}{1} = \frac{3 — \sqrt{3}}{4} + \frac{12 + 12\sqrt{3}}{4} \)
5. Теперь объединяем дроби:
\( \frac{3 — \sqrt{3}}{4} + \frac{12 + 12\sqrt{3}}{4} = \frac{15 + 11\sqrt{3}}{4} \)
Ответ: \( \frac{15 + 11\sqrt{3}}{4} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.