Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1294 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что \( \cos x = \frac{1}{2} \). Верно ли, что \( x = \frac{\pi}{3} \)? Укажите ещё 3 значения \( x \), при которых \( \cos x = \frac{1}{2}. \)
Найти три значения:
\( \cos x = \frac{1}{2}; \)
\( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \)
\( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \)
Ответ: \( -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}. \)
Задана задача:
Известно, что \( \cos x = \frac{1}{2} \). Верно ли, что \( x = \frac{\pi}{3} \)? Укажите ещё 3 значения \( x \), при которых \( \cos x = \frac{1}{2} \).
Решение:
1. Мы знаем, что функция \( \cos x \) равна \( \frac{1}{2} \) в двух точках в пределах одного периода функции, так как косинус имеет период \( 2\pi \). Эти точки — это \( x = \frac{\pi}{3} \) и \( x = -\frac{\pi}{3} \). Следовательно, \( x = \frac{\pi}{3} \) — это одно из значений, при котором косинус равен \( \frac{1}{2} \), но не единственное.
2. Косинус имеет период \( 2\pi \), то есть для всех значений \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число, функция \( \cos x \) будет равна \( \frac{1}{2} \).
3. Запишем это в общем виде:
Первое решение: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
Второе решение: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
4. Теперь найдём ещё 3 значения \( x \), при которых \( \cos x = \frac{1}{2} \):
При \( n = 0 \), \( x = \frac{\pi}{3} \);
При \( n = 1 \), \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \);
При \( n = -1 \), \( x = \frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \);
При \( n = 0 \), \( x = -\frac{\pi}{3} \);
При \( n = 1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \);
При \( n = -1 \), \( x = -\frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \);
5. Подытожим ответы:
Значения \( x \), при которых \( \cos x = \frac{1}{2} \), равны: \( \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \dots \)
Ответ: \( \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} \).
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.